Теорема о биссектрисе. Биссектриса треугольника. Подробная теория с примерами (2019) Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе

Министерство образования и науки Республики Татарстан

Управление образования исполнительного комитета

Бугульминского муниципального района Республики Татарстан

г. Бугульма

МБОУ СОШ №1 с углубленным изучением отдельных предметов

Класс: 9 А

Научно-исследовательская работа

Тема: Биссектриса угла треугольника

Учащийся: Александров А.А

Руководитель: Чуканова И.И.

Бугульма, 2012

Содержание.

1.Введение …………………………………………………………………………3

2.Основная часть:

2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника……………...4

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника………………………………………………………………………..

2.21. Метод подобия……………………………………………………………

2.22. Метод площадей…………………………………………………………5

2.23. Описанная окружность …………………………………………………..

2.24 Теорема синусов. ………………………………………………………...6

2.25.Векторный метод…………………………………………………………7

2.26. Доказательство с применением осевой симметрии……………………

2.3. Решение задач на применение……………………………………………..8

2.31. Решение задач из учебника……………………………………………....

2.32. Решение олимпиадных задач…………………………………………….

3.Заключение ………………………………………………………………...........10

4.Используемая литература …………………………………………………….11

1.Введение.

Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и использовал её богатства. Материальные потребности побуждали людей изготовлять орудия труда, обтёсывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Люди натягивали свои луки, изготавливали разные предметы с прямыми рёбрам и постепенно дошли до отвлечённого понятия прямой линии.

Практическая деятельность человека служила основой длительного процесса выработки отвлечённых понятий, открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.

Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилась потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Геометрия стала наукой лишь после появления в ней теорем и доказательств.

К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о биссектрисе угла треугольника.

Теорема о биссектрисе треугольника часто используется при решении геометрических задач. Теорема интересна тем, что существует много методов ее доказательства (метод подобия, метод площадей, метод движений и т.д.). В данной работе предлагаются только 4 способа доказательства этой замечательной теоремы.

Цель и задачи исследования:

Изучить доказательства теоремы о биссектрисе угла треугольника.

Научиться работать с чертежами.

Решать задачи на применение теоремы.

Составлять и решать задачи практического содержания.

Основная часть.

2.1. Формулировка теоремы о биссектрисе угла треугольника.

Теорема: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит

противоположную сторону на части, пропорциональные

прилежащим сторонам треугольника.

Если BD – биссектриса ∆ ABC , то выполняется равенство .

2.2. Различные способы доказательства теоремы о биссектрисе

угла треугольника.

2.21. Метод подобия

Проведем прямую m параллельную биссектрисе BD .

ABD =  DBC (т.к. BD – биссектриса).

DBC = BCD ₁ (т.к. m ǁ BD и BC – секущая).

BD ₁ C = ABD (т.к. m ǁ BD и BD ₁ - секущая).

BCD ₁ = BD ₁ C .

Значит ∆ BCD ₁ - равнобедренный => BC = BD ₁ .

∆ABD ∆ AD ₁ C (по двум углам).

Следовательно:

Что и требовалось доказать.

2.22. Метод площадей.

Рассмотрим ∆ ABD и ∆ CBD .

S ∆ ABD : S ∆ CBD = AD : D С (так как h – общая высота).

BD – биссектриса ∆ ABC . Каждая точка биссектрисы BD равноудалена от

сторон ∆ ABC . Значит DH = DM - высоты ∆ ABD и ∆ CBD .

S ∆ ABD : S ∆ CBD = AB : BC .

Итак : AB: BC = AD: D С => AB: AD = BC: D С .

Что и требовалось доказать.

2.23.Описанная окружность.

Опишем вокруг ∆ ABC окружность. Продолжим BD до пересечения с

окружностью в точке Е.

∆BAE ∆ BDC (по двум углам). Значит: (1).

∆BCE ∆ BAD (по двум углам). Значит: (2).

Так как ∆ ACE – равнобедренный, то AE = CE . Тогда AB ∙ DC = BC ∙ AD =>

Что и требовалось доказать.

2.24. По теореме синусов.

В треугольнике ABC ABD =  DBC = β (т.к. BD – биссектриса ∆ ABC ).

Рассмотрим ∆ ABD . По теореме синусов: (1).

Рассмотрим ∆ BCD . По теореме синусов:

(2).

Следовательно: .

Что и требовалось доказать.

2.25.Векторный метод.

Для любой точки Д отрезка АС вектор ,

где k = и 1- k = .

Действительно,

В нашем случае вектор параллелен вектору ∙ + ∙ ,

и поэтому = : , тогда = , откуда = .

Что и требовалось доказать.

2.26.Осевая симметрия.

Выполним осевую симметрию S треугольника ABC относительно BD ,

получим S BD (A) = A 1 , S BD (C) = C 1 и S BD (B) = B.

Тогда ∆ CDC 1 ∆ ADA 1 (по двум углам) и ∆ СС 1 B ∆ AA 1 B (по двум углам).

AB = A 1 B (т.к. ∆ ABA 1 – равнобедренный).

Тогда и . Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

2.3 Решение задач на применение.

2.31.Задача из учебника.

Медиана и высота делят треугольник на три равные части. Найдите углы треугольника.

∆ ACH =∆ MCH по катету и острому углу.

Поэтому ∆ AC М - равнобедренный, АН=НМ. Пусть АН = НМ = а, МВ = 2а.

По свойству биссектрисы СМ ∆ H ВС имеем: . Тогда СВ=2СН,

ÐСВН=30 ⁰ , ÐВСН= 60 ⁰ , β =30 ⁰ , ÐС=90 ⁰

Ответ: 30 ⁰ , 60 ⁰ , 90 ⁰ .

2.32.Олимпиадная задача.

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N - прямая перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и PC = 4. Найдите длину отрезка BP, если известно, что BC = 6.

Дано:

ВС=6см, ВК=4см, ВК- биссектриса ∆ АВС.

КС=3см, R ∆ BKC =1см. S ∆ ABC =60см².

Найти: АВ.

Решение:

1. 3.Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как

В этой работе, приведя различные способы эта доказательства, я показал насколько универсальна теорема.

Она проста в понимании, но в то же время помогает мне при решении очень сложных и запутанных задач.

Изучив эту теорему, я открыл много нового для себя, расширил свои знания и думаю, что проложил дорогу к дальнейшему изучению геометрии .

4.Используемая литература.

Приложение к журналу КВАНТ №1/1995.

Статьи: Л.Н.Смоляков. Еще 13 доказательств теоремы о

биссектрисе.//Квант, №2,1985.

С.Р.Сефибеков. Четыре доказательства теоремы о

биссектрисе.//Квант, № 8, 1983.

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И.

Юдина. Учебник для общеобразовательных учреждений.

Просвещение, 2003 год.

И.Ф.Шарыгин. Геометрия 7-9 классы. Москва, Издательский дом

«Дрофа», 1997.

Единая коллекция ЦОР.

Г.К.Пак. «Биссектриса». Серия: Готовимся к математической

олимпиаде. Владивосток, 2003.

Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.

Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.

И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)

Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:

Примеры углов: острый, тупой и прямой

Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $\angle AOB$).

Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.

Определение. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.

Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:

Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла

Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).

Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла

На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:

Теорема. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.

В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:

Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.

Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:

Определение. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.

Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $H\in l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.

Графическое представление расстояния от точки до прямой

Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:

Определяем расстояние от точки до сторон угла

Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.

Как и обещал, разобьём доказательство на две части:

1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы

Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:

Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M{{H}_{1}}$ и $M{{H}_{2}}$:
Провели перпендикуляры к сторонам угла
Получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:

$\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);

$\angle M{{H}_{1}}O=\angle M{{H}_{2}}O=90{}^\circ $ по построению;

$\angle OM{{H}_{1}}=\angle OM{{H}_{2}}=90{}^\circ -\angle MO{{H}_{1}}$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M{{H}_{2}}=M{{H}_{1}}$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)

2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе

Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:

Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$.

Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:
Провели луч $OM$ внутри угла
Снова получили два прямоугольных треугольника: $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$. Очевидно, что они равны, поскольку:

Гипотенуза $OM$ — общая;

Катеты $M{{H}_{1}}=M{{H}_{2}}$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);

Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_{1}^{2}=OH_{2}^{2}=O{{M}^{2}}-MH_{1}^{2}$.

Следовательно, треугольники $\vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $\vartriangle OM{{H}_{2}}$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $\angle MO{{H}_{1}}=\angle MO{{H}_{2}}$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.

В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:
Биссектриса разбила угол $\angle {{H}_{1}}O{{H}_{2}}$ на два равных

Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)

Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.

Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 259) и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М с продолжением стороны АВ. Так как ВК - биссектриса угла ABC, то . Далее, как соответственные углы при параллельных прямых, и как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда и поэтому - равнобедренный, откуда . По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем а ввиду получим , что и требовалось доказать.

Биссектриса внешнего угла В треугольника ABC (рис. 260) обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершин А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника:

Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рис. 260 проведена вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL. Читатель сам убедится в равенстве углов ВМС и ВСМ, а значит, и сторон ВМ и ВС треугольника ВМС, после чего требуемая пропорция получится сразу.

Можно говорить, что и биссектриса внешнего угла делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам; нужно лишь условиться допускать «внешнее деление» отрезка.

Точка L, лежащая вне отрезка АС (на его продолжении), делит его внешним образом в отношении если Итак, биссектрисы угла треугольника (внутреннего и внешнего) делят противолежащую сторону (внутренним и внешним образом) на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Задача 1. Боковые стороны трапеции равны 12 и 15, основания равны 24 и 16. Найти стороны треугольника, образованного большим основанием трапеции и ее продолженными боковыми сторонами.

Решение. В обозначениях рис. 261 имеем для отрезка служащего продолжением боковой стороны пропорцию откуда легко находим Аналогичным способом определяем вторую боковую сторону треугольника Третья сторона совпадает с большим основанием: .

Задача 2. Основания трапеции равны 6 и 15. Чему равна длина отрезка, параллельного основаниям и делящего боковые стороны в отношении 1:2, считая от вершин малого основания?

Решение. Обратимся к рис. 262, изображающему трапецию. Через вершину С малого основания проведем линию, параллельную боковой стороне АВ, отсекающую от трапеции параллелограмм. Так как , то отсюда находим . Поэтому весь неизвестный отрезок KL равен Заметим, что для решения этой задачи нам не нужно знать боковых сторон трапеции.

3адача 3. Биссектриса внутреннего угла В треугольника ABC рассекает сторону АС на отрезки на каком расстоянии от вершин А и С пересечет продолжение АС биссектриса внешнего угла В?

Решение. Каждая из биссектрис угла В делит АС в одном и том же отношении, но одна внутренним, а другая внешним образом. Обозначим через L точку пересечения продолжения АС и биссектрисы внешнего угла В. Так как АК Обозначим неизвестное расстояние AL через тогда и мы будем иметь пропорцию Решение которой и дает нам искомое расстояние

Рисунок выполните самостоятельно.

Упражнения

1. Трапеция с основаниями 8 и 18 разбита прямыми, параллельными основаниям, на шесть полос равной ширины. Найти длины отрезков прямых, разбивающих трапецию на полосы.

2. Периметр треугольника равен 32. Биссектриса угла А делит сторону ВС на части, равные 5 и 3. Найти длины сторон треугольника.

3. Основание равнобедренного треугольника равно а, боковая сторона b. Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов основания с боковыми сторонами.

На данном уроке мы подробно рассмотрим, какими свойствами обладают точки, лежащие на биссектрисе угла, и точки, которые лежат на серединном перпендикуляре к отрезку.

Тема: Окружность

Урок: Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку

Рассмотрим свойства точки, лежащей на биссектрисе угла (см. Рис. 1).

Рис. 1

Задан угол , его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.

Теорема:

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL - биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.

Рис. 2

Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое (см. Рис. 2).

Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Прямую и обратную теоремы можно объединить.

Теорема

Биссектриса неразвернутого угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.

Теорема

Биссектрисы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 треугольника пересекаются в одной точке О (см. Рис. 3).

Рис. 3

Доказательство:

Рассмотрим сначала две биссектрисы ВВ 1 и СС 1 . Они пересекаются, точка пересечения О существует. Чтобы доказать это, предположим противное - пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая ВС является секущей, и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .

Итак, точка О пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон ВА и ВС. Если ОК - перпендикуляр к ВС, OL - перпендикуляр к ВА, то длины этих перпендикуляров равны - . Также точка О лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон CВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.

Получили следующие равенства:

, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.

Нас интересует равенство перпендикуляров OL и ОМ. Это равенство говорит о том, что точка О равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе АА 1 .

Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Перейдем к рассмотрению отрезка, его серединного перпендикуляра и свойства точки, которая лежит на серединном перпендикуляре.

Задан отрезок АВ, р - серединный перпендикуляр. Это значит, что прямая р проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна ему.

Теорема

Рис. 4

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка (см. Рис. 4).

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть , что и требовалось доказать.

Заметим, что отрезок АВ является общей хордой для многих окружностей.

Например, первая окружность с центром в точке М и радиусом МА и МВ; вторая окружность с центром в точке N, радиусом NA и NB.

Таким образом, мы доказали, что если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, она равноудалена от концов отрезка (см. Рис. 5).

Рис. 5

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если некоторая точка М равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка (см. Рис. 6).

Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.

Рис. 6

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Прямую и обратную теоремы можно обобщить.

Теорема

Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.

Треугольник, как известно, состоит из трех отрезков, значит, в нем можно провести три серединных перпендикуляра. Оказывается, что они пересекаются в одной точке.

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: Р 1 к стороне ВС, Р 2 к стороне АС, Р 3 к стороне АВ (см. Рис. 7).

Доказать, что перпендикуляры Р 1 , Р 2 и Р 3 пересекаются в точке О.