0 5 в степени корень из 2. Корень степени n: основные определения. Почему нужны два определения

Глава первая.

Возвышение в квадрат одночленных алгебраических выражений.

152. Определение степени. Напомним, что произведение двух одинаковых чисел аа называется второю степенью (или квадратом ) числа а , произведение трех одинаковых чисел ааа называется третьей степенью (или кубом ) числа а ; вообще произведение n одинаковых чисел аа... а называется n -ю степенью числа а . Действие, посредством которого находится степень данного числа, называется возвышением в степень (вторую, третью и т. д.). Повторяющийся сомножитель называется основанием степени, а число одинаковых сомножителей называется показателем степени.

Сокращенно степени обозначаются так: а 2 , а 3 , а 4 ... и т. д.

Мы сначала будем говорить о простейшем случае возвышения в степень, именно о возвышении в квадрат ; а пoсле рассмотрим возвышение и в другие степени.

153. Правило знаков при возвышении в квадрат. Из правила умножения относительных чисел следует, что:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 =(-a) (-a) = +a 2

Значит, квадрат всякого относительного числа есть число положительное.

154. Возвышение в квадрат произведения, степени и дроби.

а) Пусть требуется возвысить в квадрат произведение нескольких сомножителей, напр. аbс . Это значит, что требуется аbс умножить на аbс . Но чтобы умножить на произведение аbс , можно умножить множимое на а , результат умножить на b и что получатся умножить еще на с .

(аbс) 2 = (аbс) (аbс) = (аbс) аbс = аbсаbс

(мы отбросили последние скобки, так как от этого смысл выражения не изменяется). Теперь, пользуясь сочетательным свойством умножения (отдел1 § 34, б), сгруппируем сомножители так:

(аа) (bb) (сс),

что можно сокращенно написать: а 2 b 2 с 2 .

Значит, чтобы возвысить произведение в квадрат, можно возвысить в квадрат каждый сомножитель отдельно
(Для сокращения речи правило это, как и последующее, выражено не полно; надо было бы еще добавить: „и полученные результаты перемножить". Добавление ото само собой подразумевается..)

Таким образом:

(3 / 4 xy) 2 = 9 / 16 x 2 y 2 ; (- 0,5mn) 2 = + 0,25m 2 n 2 ; и т. п.

б) Пусть требуется какую-нибудь степень, напр. a 3 , возвысить в квадрат. Это можно выполнить так:

(а 3) 2 = а 3 а 3 = а 3+3 = а 6 .

Подобно этому: (х 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

Значит, чтобы возвысить степень в квадрат, можно показатель степени умножить на 2 .

Таким образом, применяя эти два правила, будем, напр., иметь:

(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 a 2 (x 2) 2 (у 3) 2 = 225 / 2 a 2 x 4 y 6

в) Пусть требуется возвысить в квадрат какую-нибудь дробь a / b . Тогда, применяя правило умножения дроби на дробь, получим:

Значит, чтобы возвысить в квадрат дробь, можно возвысить в квадрат отдельно числитель и знаменатель.

Пример.

Глава вторая.

Возвышение в квадрат многочлена.

155. Вывод формулы. Пользуясь формулой (отдел2 глава3 § 61):

(а + b) 2 = a 2 + 2аb + b 2 ,

мы можем возвысить в квадрат трехчлен a + b + с , рассматривая его как двучлен (а + b) + с :

(а + b +c) 2 = [(а + b) + c ] 2 = (а + b) 2 + 2(а + b)c + c 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2(а + b)c + c 2

Таким образом, с прибавлением к двучлену а + b третьего члена с после возвышения в квадрат прибавились 2 члена: 1) удвоенное произведение суммы первых двух членов на третий член и 2) квадрат третьего члена. Приложим теперь к трехчлену а + b + с еще четвертый член d и возвысим четырехчлен а + b + с + d в квадрат, принимая сумму а + b + с за один член.

(а + b +c + d) 2 = [(а + b + c) + d ] 2 = (а + b +c) 2 + 2(а + b + c)d + d 2

Подставив вместо (а + b +c) 2 то выражение, которое мы получили выше, найдем:

(а + b +c + d) 2 = a 2 + 2аb + b 2 + 2(а + b)c + c 2 + 2(а + b + c)d + d 2

Мы опять замечаем, что с прибавлением нового члена к возвышаемому многочлену в квадрате его прибавляются 2 члена: 1) удвоенное произведение суммы прежних членов на новый член и 2) квадрат нового члена. Очевидно, что такое прибавление двух членов будет идти и дальше по мере прибавления новых членов к возвышаемому многочлену. Значит:

Квадрат многочлена равен: квадрату 1-го члена, плюс удвоенное произведение 1-го члена на 2-й, плюс квадрат 2-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых двух членов на 3-й, плюс квадрат 3-го члена, плюс удвоенное произведение суммы первых трех членов на 4-й, плюс квадрат 4-го члена, и т. д. Конечно, члены многочлена могут быть и отрицательными.

156. Замечание о знаках. В окончательном результате со знаком плюс окажутся, во-первых, квадраты всех членов многочлена и, во-вторых, те удвоенные произведения, которые произошли от умножения членов с одинаковыми знаками.

Пример.

157. Сокращенное возвышение в квадрат целых чисел . Пользуясь формулою квадрата многочлена, можно возвышать в квадрат всякое целое число иначе, чем обыкновенным умножением. Пусть, напр., требуется возвысить в квадрат 86 . Разложим это число на разряды:

86 = 80 + 6 = 8 дес.+ 6 ед.

Теперь по формуле квадрата суммы двух чисел можем написать:

(8 дес.+ 6 ед.) 2 =(8 дес.) 2 + 2(8 дес.) (6 ед.) + (6 ед.) 2 .

Чтобы быстрее вычислить эту сумму, примем во внимание, что квадрат десятков составляет сотни (но могут быть и тысячи); напр. 8 дес . в квадрате образуют 64 сотни , так как 80 2 = б400 ; произведение десятков на единицы составляет десятки (но могут быть и сотни), напр. 3 дес. 5 ед. = 15 дес, так как 30 5 = 150; и квадрат единиц составляет единицы (но могут быть и десятки), напр. 9 ед. в квадрате = 81 ед. Поэтому вычисление всего удобнее расположить так:

т. е. мы пишем сначала квадрат первой цифры (сотни); под этим числом пишем удвоенное произведение первой цифры на вторую (десятки), наблюдая при этом, чтобы последняя цифра этого произведения стояла на одно место правее последней цифры верхнего числа; далее, снова отступив последней цифрой на одно место вправо, ставим квадрат второй цифры (единицы); и все написанные числа складываем в одну сумму. Конечно, можно было бы дополнить эти числа надлежащим количеством нулей, т. е. написать так:

но это бесполезно, если только будем правильно подписывать числа друг под другом, отступая каждый раз (последней цифрой) на одно место вправо.

Пусть еще требуется возвысить в квадрат 238 . Так как:

238 = 2 сот. + 3 дес. + 8 ед. , то

Но сотни в квадрате дают десятки тысяч (напр., 5 сот. в квадрате будет 25 дес. тысяч, так как 500 2 = 250 000), произведение сотен на десятки дает тысячи (напр. 500 30= 15 000) и т. д.

Примеры.

Глава третья.

у = х 2 и у = ах 2 .

158. График функции у = х 2 . Проследим, как при изменении возвышаемого числа х изменяется квадрат его х 2 (напр., как при изменении стороны квадрата изменяется его площадь). Для этого предварительно обратим внимание на следующие особенности функции у = х 2 .

а) При всяком значении х функция всегда возможна и всегда получает только одно определенное значение. Напр, при х = - 10 функция будет (-10) 2 = 100 , при
х =1000 функция будет 1000 2 =1 000 000 , и т. п.

б) Так как (-х ) 2 = х 2 , то при двух значениях х , отличающихся только знаками, получаются два одинаковые положительные значения у ; напр, при х = - 2 и при х = + 2 значение у будет одно и то же, именно 4 . Отрицательных значений для у никогда не получается.

в) Если абсолютная величина х неограниченно увеличивается, то и у неограниченно увеличивается. Так, если для х будем давать ряд неограниченно возрастающих положительных значений: 1, 2, 3, 4... или ряд неограниченно убывающих отрица тельных значений: -1, -2, -3, -4..., то для у получим ряд неограниченно возрастающих значений: 1, 4, 9, 16, 25... Эти кратко выражают, говоря, что при x = + ∞ и при x = - ∞ функция у делается + ∞ .

г) х у . Так, если значению х = 2 , дадим приращение, положим, 0,1 (т. е. вместо х = 2 возьмем х = 2,1 ), то у вместо 2 2 = 4 сделается равным

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

Значит, у увеличится на 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Если тому же значению х дадим еще меньшее приращение, положим, 0,01 , то у сделается равным

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

Значит, тогда у увеличится на 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , т. е. увеличится меньше, чем прежде. Вообще, чем на меньшую дробь мы увеличим х , тем на меньшее число увеличится у . Таким образом, если представим себе, что х увеличивается (положим от значения 2) непрерывно , переходя через все значения, большие 2, то у будет увеличиватьcя тоже непрерывно, переходя через все значения, большие 4.

Заметив все эти свойства, составим таблицу значений функции у = х 2 , напр., такую:

Изобразим теперь эти значения на чертеже в виде точек, абсциссы которых будут выписанные значения х , а ординаты соответствующие значения у (на чертеже за единицу длины мы приняли сантиметр); полученные точки обведем кривою. Кривая эта называется параболой .

Рассмотрим некоторые ее свойства.

а) Парабола есть кривая непрерывная , так как при не прерывном изменении абсциссы х (как в положительном направлении, так и в отрицательном) ордината, как мы видели сейчас, изменяется тоже непрерывно.

б) Вся кривая расположена по одну сторону от оси x -ов, именно по ту сторону, по какую лежат положительные значения ординат.

в) Парабола подразделяется осью у -ов на две части (ветви). Точка О , в которой эти ветви сходятся, называется вершиною параболы. Эта точка есть единственная общая у параболы и оси x -ов; значит, в этой точке парабола касается оси x -ов.

г) Обе ветви бесконечны, так как х и у могут увеличиваться беспредельно. Ветви поднимаются от оси x -ов неограниченно вверх, удаляясь в то же время неограниченно от оси y -ов вправо и влево.

д) Ось y -ов служит для параболы осью симметрии, так что, перегнув чертеж по этой оси так, чтобы левая половина чертежа упала на правую, мы увидим, что обе ветви совместятся; напр, точка с абсциссой - 2 и с ординатой 4 совместитcя с точкой, имеющей абоциссу +2 и ту же ординату 4.

е) При х = 0 ордината тоже равна 0. Значит, при х = 0 функция имеет наименьшее значение из всех возможных. Наибольшего значения функция не имеет, так как ординаты кривой увеличиваются беспредельно.

159. График функции вида у = ах 2 . Предположим сначала, что а есть число положительное. Возьмем, напр., такие 2 функции:

1) y = 1 1 / 2 x 2 ; 2) y = 1 / 3 x 2

Составим таблицы значений этих функции, напр., такие:

Нанесем все эти значения на чертеж и проведем кривые. Для сравнения мы поместили на том же чертеже (прерывистой линией) еще график функции:

3) y = x 2

Из чертежа видно, что при одной и той же абсциссе ордината 1-й кривой в 1 1 / 2 , раза больше, а ордината 2-й кривой в 3 раза меньше, чем ордината 3-й кривой. Вследствие этого все такие кривые имеют общий характер: бесконечные непрерывные ветви, ось симметрии и пр., только при а > 1 ветви кривой более приподняты вверх, а при a < 1 они более отогнуты книзу, чем у кривой y= x 2 . Все такие кривые называются параболамми .

Предположим теперь, что коэффициент а будет число отрицательное. Пусть, напр., y = - 1 / 3 x 2 . Сравнивая эту функцию с такой: y = + 1 / 3 x 2 замечаем, что при одном и том же значении х обе функции имеют одну и ту же абсолютную величину, но противоположны по знаку. Поэтому на чертеже для функции y = - 1 / 3 x 2 получится такая же парабола, как и для функции y = 1 / 3 x 2 только расположенная под осью х -ов симметрично с параболой y = 1 / 3 x 2 . В этом случае все значения функции отрицательны, кроме одного, равного нулю при х = 0 ; это последнее значение является наибольшим из всех.

Замечание. Если зависимость между двумя переменными величинами у и х выражается равенством: у = ах 2 , где а какое-нибудь постоянное число, то можно сказать, что величина у пропорциональна квадрату величины х , так как с увеличением или уменьшением х в 2 раза, в 3 раза и т. д. величина у увеличивается или уменьшается в 4 раза, в 9 раз, в 16 раз и т. д. Напр, площадь круга равна π R 2 , где R есть радиус круга и π постоянное число (равное приблизительно 3,14); поэтому можно сказать, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса..

Глава четвертая.

Возвышение в куб и в другие степени одночленных алгебраических выражений.

160. Правило знаков при возвышении в степень. Из правила умножения относительных чисел следует, что

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l; и т. п.

Значит, от возвышения отрицательного числа в степень с четным показателем получается положительное число, а от возвышения его в степень с нечетным показателем получается отрицательное число.

161. Возвышение в степень произведения, степени и дроби. При возвышении произведения степени и дроби в какую-нибудь степень мы можем поступать так же, как и при возвышении в квадрат (). Так:

(аbс) 3 = (аbс)(аbс)(аbс) = аbс аbс аbс = (ааа)(bbb)(ссс) = a 3 b 3 с 3 ;

Глава пятая.

Графическое изображение функций: у = х 3 и у = ах 3 .

162. График функции у = х 3 . Рассмотрим, как при изменении возвышаемого числа изменяется куб его (напр., как при изменении ребра куба изменяется его объем). Для этого предварительно укажем следующие особенности функции у = х 3 (напоминающие свойства функции у = х 2 , рассмотренные нами раньше, ):

а) При всяком значении х функция у = х 3 возможна и имеет единственное значение; так, (+ 5) 3 = +125 и никакому другому числу куб числа + 5 равняться не может. Подобно этому (- 0,1) 3 = - 0,001 и никакому другому числу куб числа -0,1 равняться не может.

б) При двух значениях х , отличающихся только знаками, функция х 3 получает значения, также отличающиеся друг от друга только знаками; так, при х = 2 функция х 3 равна 8, а при х = - 2 она равна -8 .

в) При возрастании х функция х 3 возрастает и притом быстрее, чем х , и даже быстрее, чем х 2 ; так при

х = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. х 3 будет = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

г) Очень малому приращению переменного числа х соответствует и очень малое приращение функции х 3 . Так, если значение х = 2 увеличим на дробь 0,01 , т. е. если вместо х = 2 возьмем x = 2,01 , то функция у будет не 2 3 (т. е. не 8 ), а 2,01 3 , что составит 8,120601 . Значит, функция эта увеличится тогда на 0,120601 . Если значение х = 2 увеличим еще меньше, напр, на 0,001 , то х 3 сделается равным 2,001 3 , что составит 8,012006001 , и, значит, у увеличится только на 0,012006001 . Мы видим, таким образом, что если приращение переменного числа х будет все меньше и меньше, то и приращение х 3 будет все меньше и меньше.

Заметив это свойство функции у = х 3 , начертим ее график. Для этого предварительно составим таблицу значений этой функции, напр., такую:

163. График функции у = aх 3 . Возьмем такие две функции:

1) у = 1 / 2 х 3 ; 2) у = 2 х 3

Если сравним эти функции с более простой: у = х 3 , то заметим, что при одном и том же значении х первая функция получает значения вдвое меньшие, а вторая вдвое большие, чем функция у = aх 3 , во вcем остальном эти три функции сходны между собой. Графики их изображены для сравнения на одном и том же чертеже. Кривые эти называются параболами 3-й степени .

Глава шестая.

Основные свойства извлечения корня.

164. Задачи.

а) Найти сторону квадрата, которого площадь равнялась бы площади прямоугольника с основанием 16 см и с высотою 4 см.

Обозначив сторону искомого квадрата буквою х (см), получим такое уравнение:

х 2 =16 4, т. е. х 2 = 64.

Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено во вторую степень, дает в результате 64. Такое число называется корнем второй степени из 64. Оно равно + 8 или - 8, так как (+ 8) 2 = 64 и (- 8) 2 = 64. Отрицательное число - 8 для нашей задачи не годится, так как сторона квадрата должна выразиться обыкновенным арифметическим числом.

б) Свинцовый кусок, весящий 1 кг 375 г (1375 г), имеет форму куба. Как велико ребро этого куба, если известно, что 1 куб. см свинца весит 11 граммов?

Пусть длина ребра куба будет х см. Тогда его объем будет равен х 3 куб. см, а вес его окажется 11 х 3 г.

11х 3 = 1375; х 3 = 1375: 11 = 125.

Мы видим таким образом, что х есть такое число, которое, будучи возвышено в третью степень, составляет 125 . Такое число называется корнем третьей степени из 125. Оно, как нетрудно догадаться, равно 5, так как 5 3 = 5 5 5 = 125. Значит, ребро куба, о котором говорится в задаче, имеет длину в 5 см.

165. Определение корня. Корнем второй степени (или квадратным) из числа а называется такое число, которого квадрат равняется а . Так, квадратный корень из 49 есть 7, а также и - 7, так как 7 2 = 49 и (- 7) 2 = 49. Корнем третьей степени (кубичным) из числа а называется такое число, которого куб равняется а . Так, кубичный корень из -125 есть - 5, так как (- 5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125.

Вообще корнем n -ой степени из числа а называется такое число, которого n -ая степень равна а .

Число n , означающее, какой степени находится корень, называется показателем корня .

Корень обозначается знаком √ (знак радикала, т. е. знак корня). Латинское слово radix означает корень. Знак √ впервые введен в XV столетии. . Под горизонтальной чертой его пишут то число, из которого корень отыскивается (подкоренное число), а над отверстием угла ставят показатель корня. Так:

корень кубичный из 27 обозначается..... 3 √27 ;

корень четвертой степени из 32 обозначается... 3 √32 .

Показатель квадратного корня принято не писать вовсе, напр.

вместо 2 √16 пишут √16 .

Действие, посредством которого отыскивается корень, называется извлечением корня; оно обратно возвышению в степень, так как посредством этого действия отыскивается то, что дано при возвышении в степень, именно основание стенени, а дано то, что при возвышении в степень отыскивается, именно сама степень. Поэтому правильность извлечения корня мы можем всегда поверять возвышением в степень. Напр., чтобы проверить

равенство: 3 √125 = 5, достаточно 5 возвысить в куб: получив подкоренное число 125, мы заключаем, что корень кубичный из 125 извлечен правильно.

166. Арифметический корень. Корень называется арифметическим, если он извлекается из положительного числа и сам представляет собою положительное число. Напр., арифметический квадратный корень из 49 есть 7, тогда как число - 7, которое тоже есть квадратный корень из 49, нельзя назвать арифметическим.

Укажем следующие два свойства арифметического корня.

а) Пусть требуется найти арифметический √49 . Такой корень будет 7, так как 7 2 = 49. Зададимся вопросом, нельзя ли подыскать какое-нибудь другое положительное число х , которое тоже было бы √49 . Предположим, что такое число существует. Тогда оно должно быть либо меньше 7, либо больше 7. Если допустим, что x < 7, то тогда и х 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x >7, то тогда и х 2 >49. Значит, никакое положительное число, ни меньшее 7, ни большее 7, не может равняться √49 . Таким образом арифметический корень данной степени из данного числа может быть только один.

К другому заключению мы пришли бы, если бы говорили не о положительном значении корня, а о каком-нибудь; так, √49 равен и числу 7, и числу - 7, так как и 7 2 = 49 и (- 7) 2 = 49.

б) Возьмем какие-нибудь два неравные положительные числа, напр. 49 и 56. Из того, что 49 < 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

Действительно: 3 √64 = 4 и 3 √125 = 5 и 4 < 5. Вообще меньшему положительному числу соответствует и меньший арифметическии корень (той же степени).

167. Алгебраический корень. Корень называется алгебраическим , если не требуется, чтобы он извлекался из положительного числа и чтобы сам был положительный. Таким образом, если под выражением n √a разумеется алгебраический корень n -й степени, то это значит, что число а может быть и положительное и отрицательное, и самый корень может быть и положительным и отрицательным.

Укажем следующие 4 свойства алгебраического корня.

а) Корень нечетном степеци из положительного числа есть положительное число .

Так, 3 √8 должен быть числом положительным (он равен 2), так как отрицательное число, возвышенное в степень с нечетным показателем, дает отрицательное число.

б) Корень нечетной степени из отрицательною числа есть отрицательное число.

Так, 3 √-8 должен быть отрицательным числом (он равен -2), так как положительное число, возвышенное в какую бы то ни было степень, дает положительное число, а не отрицательное.

в) Корень четной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками и с одинаковой абсолютной величиной.

Так, √+4 = + 2 и √+4 = - 2 , потому что (+ 2 ) 2 = + 4 и (- 2 ) 2 = + 4 ; точно так же 4 √+81 = + 3 и 4 √+81 = - 3 , потомуу что обе степени (+3) 4 и (-3) 4 равны одному и тому же числу. Двойное значение корня обозначается обыкновенно постановкою двух знаков перед абсолютной величиной корня; так пишут:

√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;

г) Корень четной степени из отрицательного числа не может равняться никакому ни положительному, ни отрицательному числу , так как и то и другое после возвышения в степень с четным показателем дает положительное число, а не отрицательное. Напр., √-9 не равен ни +3, ни -3 и никакому иному числу.

Корень четной степени из отрицательного числа принято называть мнимым числом; относительные же числа называются вещественными , или действительными , числами.

168. Извлечение корня из произведения, из степени и из дроби.

а) Пусть надо извлечь квадратный корень из произведения аbс . Если бы требовалось произведение возвысить в квадрат, то, как мы видели (), можно возвысить в квадрат каждый сомножитель отдельно. Так как извлечение корня есть действие, обратное возвышению в степень, то надо ожидать, что и для извлечения корня из произведения можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, т. е. что

√abc = √a √b √c .

Чтобы убедиться в верности этого равенства, возвысим правую часть его в квадрат (по теореме: чтобы возвысить в степень произведение...):

(√a √b √c ) 2 = (√a ) 2 (√b ) 2 (√c ) 2

Но, согласно определению корня,

(√a ) 2 = a , (√b ) 2 = b, (√c ) 2 = c

Следовательно

(√a √b √c ) 2 = аbс .

Если же квадрат произведения √a √b √c равен аbс , то это значит, что произведение это равно квадратному корню из abc .

Подобно этому:

3 √abc = 3 √a 3 √b 3 √c ,

(3 √a 3 √b 3 √c ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √b ) 3 (3 √c ) 3 = abc

Значит, чтобы извлечь корень из произведения, достаточно извлечь его из каждого сомножители отдельно.

б) Легко убедиться поверкою, что следующие равенства верны:

√a 4 = а 2 , потому что (a 2 ) 2 = а 4 ;

3 √x 12 = x 4 , „ (x 4 ) 3 = x 12 ; и т. п.

Значит, чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, можно разделить показатель степени на показатель корня.

в) Верны будут также и следующие равенства:

Значит, чтобы извлечь корень из дроби, можно изелень сю из числителя и знаменателя отоельно.

Заметим, что в этих истинах предполагается, что речь идет о корнях арифметических.

Примеры .

1) √9a 4 b 6 = √9 √a 4 √b 6 = 3а 2 b 3 ;

2) 3 √125 a 6 x 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √x 9 = 5а 2 x 3

Замечание Если искомый корень четной степени и предполагается алгебраический, то перед найденным результатом надо поставить двойной знак ± Так,

√9x 4 = ± 3x 2 .

169. Простейшие преобразования радикалов,

а) Вынесение множителей за знак радикала. Если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых из них можно извлечь корень, то такие множители, по извлечении из них корня, могут быть написаны перед знаком радикала (могут быть вынесены за знак радикала).

1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = а √a .

2) √24 a 4 x 3 = √4 6 a 4 x 2 x = 2a 2 x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 x = 2x 3 √2 x

б) Подведение множителей под знак радикала. Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак радикала множители, стоящие перед ним; для этого достаточно возвысить такие множители в степень, показатель которой равен показателю радикала, а затем написать множителями под знаком радикала.

Примеры.

1) а 2 √a = √(а 2 ) 2 a = √а 4 a = √a 5 .

2) 2x 3 √x = 3 √(2x ) 3 x = 3 √8x 3 x = 3 √8x 4 .

в) Освобождение подкоренного выражения от знаменателей. Покажем это на следующих примерах:

1) Преобразуем дробь так, чтобы из знаменателя можно было извлечь квадратный корень. Для этого умножим оба члена дроби на 5:

2) Умножим оба члена дроби на 2 , на а и на х , т. е. на 2ах :

Замечание. Если требуется извлечь корень из алгебраической суммы, то было бы ошибочно извлечь его из каждого слагаемого отдельно. Напр.√9 + 16 = √25 = 5 , тогда как
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; значит, действие извлечения корня по отношению к сложению (и вычитанию) не обладает распределительным свойством (как и возвышение в степень, отдел 2 глава 3 § 61, замечание).

Примеры:

\(\sqrt{16}=2\), так как \(2^4=16\)
\(\sqrt{-\frac{1}{125}}\) \(=\) \(-\frac{1}{5}\) ,так как \((-\frac{1}{5})^3\) \(=\) \(-\frac{1}{125}\)

Как вычислить корень n-ой степени?

Чтобы вычислить корень \(n\)-ой степени, надо задать себе вопрос: какое число в \(n\)-ой степени, даст под корнем?

Например . Вычислите корень \(n\)-ой степени: а)\(\sqrt{16}\); б) \(\sqrt{-64}\); в) \(\sqrt{0,00001}\); г)\(\sqrt{8000}\); д) \(\sqrt{\frac{1}{81}}\).

а) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(16\)? Очевидно, \(2\). Поэтому:

б) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(-64\)?

\(\sqrt{-64}=-4\)

в) Какое число в \(5\)-ой степени, даст \(0,00001\)?

\(\sqrt{0,00001}=0,1\)

г) Какое число в \(3\)-ей степени, даст \(8000\)?

\(\sqrt{8000}=20\)

д) Какое число в \(4\)-ой степени, даст \(\frac{1}{81}\)?

\(\sqrt{\frac{1}{81}}=\frac{1}{3}\)

Мы рассмотрели самые простые примеры с корнем \(n\)-ой степени. Для решения более сложных задач с корнями \(n\)-ой степени – жизненно необходимо знать их .

Пример. Вычислите:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt{-3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{9} -\) \(=\)		В данный момент ни один из корней нельзя вычислить. Поэтому применим свойства корня \(n\)-ой степени и преобразуем выражение. \(\frac{\sqrt{-64}}{\sqrt{2}}\) \(=\)\(\sqrt{\frac{-64}{2}}\) \(=\)\(\sqrt{-32}\) т.к. \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) \(=\)\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
\(=\sqrt{3}\cdot \sqrt{-3}\cdot \sqrt{27}\cdot \sqrt{9}-\sqrt{-32}=\)		Переставим множители в первом слагаемом так, что бы квадратный корень и корень \(n\)-ой степени стояли рядом. Так легче будет применять свойства т.к. большинство свойств корней \(n\)-ой степени работают только с корнями одинаковой степени. И вычислим корень 5-ой степени.
\(=\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{-3}\cdot \sqrt{9}-(-5)=\)		Применим свойство \(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\) и раскроем скобку
\(=\sqrt{81}\cdot \sqrt{-27}+5=\)		Вычисли \(\sqrt{81}\) и \(\sqrt{-27}\)
\(=9\cdot(-3)+5 =-27+5=-22\)

Корень n-ой степени и квадратный корень связаны?

В любом случае, любой корень любой степени - это просто число, пусть и записанное в непривычном вам виде.

Особенность корня n-ой степени

Корень \(n\)-ой степени с нечетными \(n\) может извлекаться из любого числа, даже отрицательного (см. примеры в начале). Но если \(n\) - четное (\(\sqrt{a}\), \(\sqrt{a}\),\(\sqrt{a}\)…), то такой корень извлекается только если \(a ≥ 0\) (кстати, у квадратного корня так же). Это связано с тем, что извлечение корня – действие, обратное возведению в степень.

А возведение в четную степень делает даже отрицательное число положительным. Действительно, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Поэтому мы не можем получить под корнем четной степени отрицательного числа. А значит, и извлечь такой корень из отрицательного числа – не можем.

Нечетная же степень таких ограничений не имеет – отрицательное число, возведенное в нечетную степень останется отрицательным: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=-32\). Поэтому под корнем нечетной степени можно получить отрицательное число. А значит и извлечь его из отрицательного числа – тоже можно.

Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)

Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.:)

Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: зачем всё это нужно и как это применять на практике.

Но сначала запомните один важный момент, про который многие составители учебников почему-то «забывают»:

Корни бывают чётной степени (наш любимый $\sqrt{a}$, а также всякие $\sqrt{a}$ и даже $\sqrt{a}$) и нечётной степени (всякие $\sqrt{a}$, $\sqrt{a}$ и т.д.). И определение корня нечётной степени несколько отличается от чётной.

Вот в этом грёбаном «несколько отличается» скрыто, наверное, 95% всех ошибок и недопонимания, связанного с корнями. Поэтому давайте раз и навсегда разберёмся с терминологией:

Определение. Корень чётной степени n из числа $a$ — это любое неотрицательное число $b$ такое, что ${{b}^{n}}=a$. А корень нечётной степени из того же числа $a$ — это вообще любое число $b$, для которого выполняется всё то же равенство: ${{b}^{n}}=a$.

В любом случае корень обозначается вот так:

\{a}\]

Число $n$ в такой записи называется показателем корня, а число $a$ — подкоренным выражением. В частности, при $n=2$ получим наш «любимый» квадратный корень (кстати, это корень чётной степени), а при $n=3$ — кубический (степень нечётная), который тоже часто встречается в задачах и уравнениях.

Примеры. Классические примеры квадратных корней:

\[\begin{align} & \sqrt{4}=2; \\ & \sqrt{81}=9; \\ & \sqrt{256}=16. \\ \end{align}\]

Кстати, $\sqrt{0}=0$, а $\sqrt{1}=1$. Это вполне логично, поскольку ${{0}^{2}}=0$ и ${{1}^{2}}=1$.

Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:

\[\begin{align} & \sqrt{27}=3; \\ & \sqrt{-64}=-4; \\ & \sqrt{343}=7. \\ \end{align}\]

Ну, и парочка «экзотических примеров»:

\[\begin{align} & \sqrt{81}=3; \\ & \sqrt{-32}=-2. \\ \end{align}\]

Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!

А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.

Зачем вообще нужны корни?

Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:

\[\begin{align} & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end{align}\]

Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:

Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:

Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 183 . Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.

После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?

Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд. Потому что выяснилось, что для большинства «готовых» степеней таких «исходных» чисел нет. Судите сами:

\[\begin{align} & {{b}^{3}}=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & {{b}^{3}}=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end{align}\]

А, что если ${{b}^{3}}=50$? Получается, что нужно найти некое число, которое будучи трижды умноженное само на себя даст нам 50. Но что это за число? Оно явно больше 3, поскольку 3 3 = 27 < 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 > 50. Т.е. это число лежит где-то между тройкой и четвёркой, но чему оно равно — фиг поймёшь.

Именно для этого математики и придумали корни $n$-й степени. Именно для этого ввели значок радикала $\sqrt{*}$. Чтобы обозначить то самое число $b$, которое в указанной степени даст нам заранее известную величину

\[\sqrt[n]{a}=b\Rightarrow {{b}^{n}}=a\]

Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.

Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $\sqrt{2}$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:

\[\sqrt{2}=1,414213562...\]

Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:

\[\sqrt{2}=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]

Или вот ещё пример:

\[\sqrt{3}=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).

Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$, как и давно знакомые нам дроби и целые числа.

Невозможность представить корень в виде дроби вида $\frac{p}{q}$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.

Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.

\[\begin{align} & \sqrt{2+\sqrt{27}}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5}\approx 2,236... \\ & \sqrt{\sqrt{-32}}=\sqrt{-2}\approx -1,2599... \\ \end{align}\]

Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой. Впрочем, можно, посчитать на калькуляторе, но даже самый совершенный калькулятор дат нам лишь несколько первых цифр иррационального числа. Поэтому гораздо правильнее записать ответы в виде $\sqrt{5}$ и $\sqrt{-2}$.

Именно для этого их и придумали. Чтобы удобно записывать ответы.

Почему нужны два определения?

Внимательный читатель уже наверняка заметил, что все квадратные корни, приведённые в примерах, извлекаются из положительных чисел. Ну, в крайнем случае из нуля. А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного.

Почему так происходит? Взгляните на график функции $y={{x}^{2}}$:

График квадратичной функции даёт два корня: положительный и отрицательный

Попробуем с помощью этого графика посчитать $\sqrt{4}$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=-2$. Это вполне логично, поскольку

С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:

Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$\sqrt{4}=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)

В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y , т.е. не принимает отрицательных значений.

Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем:

1. Строго говоря, корней с чётным показателем $n$ у каждого положительного числа будет сразу две штуки;
2. Из отрицательных чисел корень с чётным $n$ вообще не извлекается.

Именно поэтому в определении корня чётной степени $n$ специально оговаривается, что ответ должен быть неотрицательным числом. Так мы избавляемся от неоднозначности.

Зато для нечётных $n$ такой проблемы нет. Чтобы убедиться в этом, давайте взглянем на график функции $y={{x}^{3}}$:

Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа

Из этого графика можно сделать два вывода:

1. Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
2. Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).

Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.

Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:

1. Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
2. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.

Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

Основные свойства и ограничения

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Поэтому сейчас мы рассмотрим лишь самую важную «фишку», которая относится лишь к корням с чётным показателем. Запишем это свойство в виде формулы:

\[\sqrt{{{x}^{2n}}}=\left| x \right|\]

Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль . Это простая теорема, которая легко доказывается (достаточно отдельно рассмотреть неотрицательные $x$, а затем отдельно — отрицательные). О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений (т.е. уравнений, содержащих знак радикала), ученики дружно забывают эту формулу.

Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:

\[\sqrt{{{3}^{4}}}=?\quad \sqrt{{{\left(-3 \right)}^{4}}}=?\]

Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:

1. Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти;
2. И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Т.е. никакого «сокращения» корней и степеней не происходит — это последовательные действия.

Раберёмся с первым выражением: $\sqrt{{{3}^{4}}}$. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:

\[{{3}^{4}}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Затем извлекаем корень четвёртой степени из числа 81:

Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Сначала возводим число −3 в четвёртую степени, для чего потребуется умножить его само на себя 4 раза:

\[{{\left(-3 \right)}^{4}}=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)=81\]

Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится (ведь минус на минус даёт плюс). Дальше вновь извлекаем корень:

В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Т.е. чётный корень из той же чётной степени «сжигает» минусы, и в этом смысле результат неотличим от обычного модуля:

\[\begin{align} & \sqrt{{{3}^{4}}}=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt{{{\left(-3 \right)}^{4}}}=\left| -3 \right|=3. \\ \end{align}\]

Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: результат всегда неотрицателен, да и под знаком радикала тоже всегда стоит неотрицательное число. В противном случае корень не определён.

Замечание по поводу порядка действий

1. Запись $\sqrt{{{a}^{2}}}$ означает, что мы сначала возводим число $a$ в квадрат, а затем извлекаем из полученного значения квадратный корень. Следовательно, мы можем быть уверены, что под знаком корня всегда сидит неотрицательное число, поскольку ${{a}^{2}}\ge 0$ в любом случае;
2. А вот запись ${{\left(\sqrt{a} \right)}^{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Вынесение минуса из-под знака корня

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

\[\sqrt{-a}=-\sqrt{a}\]

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

\[\begin{align} & \sqrt{-8}=-\sqrt{8}=-2; \\ & \sqrt{-27}\cdot \sqrt{-32}=-\sqrt{27}\cdot \left(-\sqrt{32} \right)= \\ & =\sqrt{27}\cdot \sqrt{32}= \\ & =3\cdot 2=6. \end{align}\]

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

Арифметический корень

Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?

А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.

Определение. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, что ${{b}^{n}}=a$.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.

Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:

Область поиска арифметического корня — неотрицательные числа

Как видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»

Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным. Например, правило возведения в степень:

\[\sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\]

Обратите внимание: мы можем возвести подкоренное выражение в любую степень и одновременно умножить на эту же степень показатель корня — и в результате получится то же самое число! Вот примеры:

\[\begin{align} & \sqrt{5}=\sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{25} \\ & \sqrt{2}=\sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt{16} \\ \end{align}\]

Ну и что в этом такого? Почему мы не могли сделать это раньше? А вот почему. Рассмотрим простое выражение: $\sqrt{-2}$ — это число вполне нормальное в нашем классическом понимании, но абсолютно недопустимо с точки зрения арифметического корня. Попробуем преобразовать его:

$\begin{align} & \sqrt{-2}=-\sqrt{2}=-\sqrt{{{2}^{2}}}=-\sqrt{4} \lt 0; \\ & \sqrt{-2}=\sqrt{{{\left(-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{4} \gt 0. \\ \end{align}$

Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.

WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.

Так вот: помимо «классического» определения корня $n$-й степени из числа и связанного с ним разделения на чётные и нечётные показатели есть более «взрослое» определение, которое вообще не зависит от чётности и прочих тонкостей. Это называется алгебраическим корнем.

Определение. Алгебраический корень $n$-й степени из числа любого $a$ — это множество всех чисел $b$ таких, что ${{b}^{n}}=a$. Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху:

\[\overline{\sqrt[n]{a}}=\left\{ b\left| b\in \mathbb{R};{{b}^{n}}=a \right. \right\}\]

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

1. Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
2. Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
3. Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Пример. Вычислите выражения:

\[\overline{\sqrt{4}};\quad \overline{\sqrt{-27}};\quad \overline{\sqrt{-16}}.\]

Решение. С первым выражением всё просто:

\[\overline{\sqrt{4}}=\left\{ 2;-2 \right\}\]

Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.

\[\overline{\sqrt{-27}}=\left\{ -3 \right\}\]

Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.

Наконец, последнее выражение:

\[\overline{\sqrt{-16}}=\varnothing \]

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $\sqrt{-16}$, и многие другие странные вещи.

Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».

На этом всё. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.:)