Геометрический смысл модуля и аргумента аналитической функции. Пусть функция w=f(z) является аналитической в некоторой области D. Выберем произвольную точку и проведем через нее произвольную гладкую кривую , целиком лежащую в D . Функция f(z) осуществляет отображение области D комплексной плоскости (z) на область G комплексной плоскости (w) . Пусть точка отображается в точку , а кривая отображается в кривую .Обозначим через угол, составленный касательной к в точке с осью Ox, а через - угол, составленный касательной в точке с осью Ou . Так как функция f(z) аналитическая, то существует производная в любой точке области D . Предположим, что в D . Производную можно представить в показательном виде, т.е. записать в виде:

Выберем такой способ стремления , при котором точки лежат на кривой . Тогда соответствующие им точки Комплексные числа и на плоскости будут изображаться векторами секущих к кривым и соответственно, причем и - длины векторов секущих, а и углы, образованные этими векторами и положительными осями. При эти векторы секущих переходят в касательные к кривым и в точках и .Из равенства (10) следует, что , т.е. аргумент производной имеет геометрический смысл разности угла вектора касательной кривой и угла вектора касательной . Так как производная не зависит от способа предельного перехода, то она будет той же самой для любой другой кривой, проходящей через точку . Другими словами, дуги, проходящие через точку z 0 на плоскости z при отображении w=f(z) повернутся на один и тот же угол на плоскости w . Когда угол между любыми кривыми на плоскости (z) , проходящий через точку z 0 , равен углу между кривыми и на плоскости (w) ,то это называется свойством сохранения (консерватизма) углов.

Аналогично из равенства (10) получим: , т.е. с точностью до величин более высокого порядка малости имеет место равенство: .

Последнее соотношение также не зависит от способа выбора кривой и геометрический смысл его состоит с том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию бесконечно малые линейные элементы (бесконечно малые дуги) преобразуются подобным образом, причем модуль производной называется коэффициентом подобия . Такое свойство данного отображения называется свойством постоянства растяжения , поэтому k еще называют коэффициентом растяжения . Говорят, что при k >1 – растяжение, а при k <1 – сжатие.

Определение конформного отображения и основные свойства. Определение 17. Взаимно-однозначное отображение области D комплексной плоскости (z) на область G комплексной плоскости (w) называется конформным , если оно во всех точках z D обладает свойством сохранения углов и постоянством растяжения.

Теорема 6. Для того, чтобы комплексная функция w=f(z) конформно отображала область D плоскости (z) на область G плоскости (w) , необходимо и достаточно, чтобы она была аналитической в D и ни в одной точке области D .

□ Необходимость . Предположим. что функция w=f(z) осуществляет конформное отображение. По определению это означает выполнение свойств сохранения углов и постоянства растяжения. Возьмем на плоскости z произвольную точку z 0 и в ее окрестности две точки: z 1 и z 2 . На плоскости w им будут соответствовать точки w 0 , w 1 , w 2

С точностью до бесконечно малых величин будут выполняться соотношения: , а из постоянства углов следует: . Из равенства для аргументов следует, что углы равны не только по абсолютной величине, но и по направлению. В результате получим: .

Таким образом из последних двух равенств следует с точностью до бесконечно малых величин выполнение следующих равенств: . По причине произвольности выбора точки z 0 и точек z 1 ,z 2 из ее окрестности следует, что существует , Достаточность. Пусть производная существует и не равна нулю в области D , тогда из геометрического смысла производной следует выполнение свойств сохранения углов и постоянства растяжения, а это по определению означает, что функция осуществляет конформное отображение. ■

Конформное отображение используется для решения задач математической физики, гидродинамике и аэродинамике, теории упругости, теории электромагнитных и тепловых полей. Основная задача теории конформного отображения заключается в нахождении функции комплексного переменного w=f(z), которая отображала бы заданную область D плоскости z на заданную область G плоскости w . В решении этой задачи важную роль играет теорема.

Теорема 7. Всякую односвязную область D комплексной плоскости z , граница которой состоит более чем из одной точки можно конформно отобразить на внутренность единичного круга <1 комплексной плоскости w. (без доказательства).

Из данной теоремы следует возможность конформного отображения данной области D на заданную область G, если граница каждой из областей состоит более чем из одной точки. Тогда, отобразив эти области на вспомогательный круг <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.

Линейное отображение . Линейным называется отображение, осуществляемое линейной функцией где a и b - комплексные числа.

Такое отображение является взаимно-однозначным и конформным на всей комплексной плоскости поскольку Линейное отображение оставляет неподвижным две точки:

Пусть Представим линейное отображение в виде трех простейших.

1) Преобразование поворота всей плоскости z на угол вокруг начала координат:

2) Преобразование подобия с центром подобия в начале координат, т.е. растяжения при >1 и сжатия при 0< <1:

3) Параллельный перенос на вектор b :

Пример 4. Найти функцию, которая отображает треугольник с заданными вершинами z 1 =-1, z 2 =i, z 3 =1 в треугольник с вершинами w 1 =0, w 2 =-2+2i, w 3 =4i.

Решение. Построим искомую функцию как суперпозицию трех элементарных преобразований.

1) - поворот на угол против часовой стрелки;

2) - растяжение в два раза;

3) - сдвиг на две единицы вверх;

Искомая функция имеет вид:

Дробно-линейное отображение. Дробно-линейная функция , где a,b,c,d - комплексные числа осуществляет дробно-линейное отображение расширенной комплексной плоскости z w . Найдем производную: если .

Определение 18. Точки z 1 и z 2 называются симметричными относительно окружности , если они лежат на одном луче, проходящем через точки z 1 , z 2 и точку z 0 , причем .

Инверсией относительно окружности называется преобразование расширенной комплексной плоскости на себя, переводящее каждую точку z 1 плоскости в точку z 2 , симметричную относительно этой окружности. Рассмотрим отображение, заданное функцией и обозначим Пользуясь свойством модуля, можно записать: . Отсюда следует, что рассматриваемое отображение есть инверсия относительно окружности радиуса R, с центром в начале координат с последующим зеркальным отображением, относительно действительной оси.

По аналогии с линейным отображением, представим дробно-линейное отображение как суперпозицию простейших преобразований. Выделим сначала целую часть дроби:

Простейшие преобразования будут следующие:

1) параллельный перенос на : ;

2) преобразование инверсии относительно окружности радиуса R с центром в начале координат с последующим зеркальным отражением относительно действительной оси: ;

3) поворот относительно начала координат: ;

4)параллельный перенос на : .

Пример 5. Найти область, в которую перейдет окружность при дробно-линейном отображении .

Решение.

Это будет окружность, которая получается после следующих преобразований:

1) перенос на 1 вниз:

2) инверсия относительно , направление обхода изменится:

3) поворот на 90 градусов:

4) перенос на 1 вниз:

Свойства дробно-линейного отображения. Без доказательства сформулируем следующие свойства.

1.Конформность. Дробно-линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w .

2.Единственность. Существует единственная дробно-линейная функция, которая три заданные различные точки z 1 ,z 2 ,z 3 плоскости z отображает в три различные точки w 1 ,w 2, w 3 плоскости w и это отображение задается равенством: .

3.Круговое свойство. При дробно-линейном отображении, образом любой окружности в широком смысле является окружность(в широком смысле, т.е. окружность или любая прямая).

4.Принцип отображения границ. При дробно-линейном отображении область, лежащая внутри окружности, преобразуется в область, лежащую либо внутри, либо вне преобразованной окружности(граница отобразится в границу).

5.Принцип симметрии Римана-Шварца. При дробно-линейном отображении точки, симметричные относительно окружности, отображаются в точки, симметричные относительно преобразованной окружности(симметрия в смысле инверсии).

Пример 6. Задана верхняя полуплоскость плоскости z и произвольная точка z 0 . Найти функцию, которая отобразит ее в единичный круг плоскости w так, чтобы z 0 отобразилась в центр круга.

Решение.

Пусть , тогда согласно принципу отображения границ, действительная ось на плоскости z отобразится в окружность единичного радиуса. По свойству симметрии точка отобразится в точку . Таким образом, учитывая это построим функцию . Если рассмотреть точки z , лежащие на действительной оси, а это точки вида: , то для них будут выполняться равенства: , т.к. они все равноудалены от точки, лежащей на действительной оси, т.е. имеем, что все точки действительной оси отобразятся во все точки единичной окружности Отсюда получаем, что если рассмотреть модуль Искомое отображение будет иметь вид: .

Решить еще одну задачу на дробно-линейное отображение и вставить обе в первый модуль!

В настоящей главе мы займемся рассмотрением некоторых приложений теории функций комплексного переменного к задачам плоской гидродинамики, электростатики и теории упругости. Существенную роль при этих применениях играет конформное преобразование, и мы начнем настоящую главу с более подробного рассмотрения конформного преобразования. Основные свойства преобразования, совершаемого регулярной функцией, были нами выяснены в и затем в . Мы рассмотрели более подробно это преобразование как в тех точках, где производная отлична от нуля, так и в тех точках, где она равна нулю. В точках первого рода углы остаются без изменения, а что касается точек второго рода, то в этих точках углы увеличиваются так, как это было указано в . Пусть

регулярная функция, совершающая конформное преобразование области В в область . Если нигде в нуль не обращается в области В, то область не имеет точек разветвления, но может все же быть многолистной, т. е. налегать сама на себя. Рассмотрим в области В некоторую кривую функцию заданную на этой кривой, и криволинейный интеграл

где элемент дуги кривой l. В результате преобразования (1) кривая l перейдет в некоторую кривую лежащую в области и элемент дуги новой кривой будет выражаться произведением так как дает коэффициент изменения линейных размеров .

Вводя функцию

обратную (1), мы будем иметь, очевидно, следовательно, можем написать

Так что интеграл в результате преобразования будет выражаться в виде

Точно так же, принимая во внимание, что будет давать коэффициент изменения площади в заданном месте, мы будем иметь следующую формулу преобразования двойного интеграла при конформном преобразовании:

и для элемента площади будет иметь место следующая формула:

Если отделить в формуле (1) вещественную и мнимую части,

то нетрудно видеть, что равно функциональному определителю от функций по переменным х и у. Действительно, этот функциональный определитель выражается формулой

или, в силу уравнений Коши - Римана, формулой

а это и есть как раз квадрат модуля производной

Рассмотрим на плоскости два семейства линий вида

где произвольные постоянные. На плоскости им будут соответствовать прямые параллельные координатным осям, и, следовательно, линии (7) получаются из сетки прямых, параллельных осям, при помощи преобразования (2). Отсюда, между прочим, следует непосредственно, что линии (7), принадлежащие различным семействам, взаимно ортогональны, кроме тех точек, где равна нулю. Наоборот, если мы возьмем уравнения

и положим в правых частях этих уравнений или где произвольные постоянные, то получим на плоскости сетку, состоящую из двух семейств взаимно ортогональных линий.

Эта сетка получается из сетки прямых, параллельных осям координат плоскости при помощи преобразования, совершаемого функцией (1). Эти две сетки, которые будут играть в дальнейшем существенную роль, называются обычно изотермическими сетками. Выясним смысл этого названия. Вещественная часть (или мнимая) регулярной функции должна удовлетворять уравнению Лапласа :

Но такому уравнению удовлетворяет температура в случае установившегося потока тепла причем мы считаем, что имеется плоский случай, т. е. температура и не зависит от одной из координат.

При таком толковании функции как температуры при установившемся потоке тепла, линии первого из семейств (7) будут линиями равной температуры, откуда и происходит название изотермическая сетка. В рассматриваемом случае линии второго из семейств (7), ортогональные к первым, будут служить векторными линиями для векторов, которые мы рассматривали в и называли векторами потока тепла.

При преобразовании (1) две линии перейдут в прямые параллельные оси и часть области В, ограниченная вышеуказанными линиями, перейдет в часть полосы, ограниченной вышеуказанными прямыми, параллельными оси .

Криволинейный четырехугольник, ограниченный четырьмя линиями изотермической сетки, перейдет в результате преобразования (1) в прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям (рис. 26)

Сделаем еще одно добавление к общим основам конформного преобразования, прежде чем переходить к примерам. Мы видели, что при преобразовании, совершаемом регулярной функцией в тех точках, где производная отлична от нуля, углы сохраняются не только по величине, но и по направлению их отсчета. Иногда рассматривают такие преобразования плоскости, при которых величины углов сохраняются, а направление их отсчета переходит в противоположное.

Такое преобразование называют иногда конформным преобразованием второго рода. В качестве примера укажем преобразование симметрии в вещественной оси, которое будет, очевидно, конформным преобразованием второго рода (рис. 27). Это преобразование можно записать в виде формулы . Вообще, если есть регулярная функция в области В, то формула

будет давать конформное преобразование второго рода, определенное в области симметричной с В относительно вещественной оси. Действительно, переход от z к будет переводить в В с сохранением величин углов, но с изменением направления их отсчета. Последующий затем переход от к по формуле (8) не будет уже менять ни величин углов, ни направления их отсчетов и, таким образом, в окончательном преобразовании от z к w мы будем иметь конформное преобразование второго рода.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Конформные отображения

1.Геометрический смысл производной функции комплексного переменного

конформный отображение функция

Геометрический смысл аргумента производной

Напомним вначале некоторые сведения о кривых. Каждая кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями

x = x (t), y = y (t), б? t ? в,(1)

где x (t), y (t) -- действительные функции действительного переменного t. В дальнейшем предполагается, что эти функции имеют непрерывные производные на интервале (б, в), причем x"(t) и y"(t) не обращаются в нуль одновременно. Кривая, обладающая указанными свойствами, называется гладкой.

Так как каждая точка (х, у) на плоскости задается комплексным числом z = х + iy, то уравнения (1) можно записать в более компактной форме:

z (t) = x (t) + i y (t), б? t ? в.

Возьмем значения t 0 и t 0 + Дt из интервала (б, в). Им соответствуют точки z (t 0) и z (t 0 + Д t) на кривой.

Вектор Дz = z (t 0 + Дt) - z (t 0) = Дx + i Дy направлен по секущей, проходящей через эти точки.

Если умножить Дz на действительное число 1/ Дt, то получим вектор Дz / Дt, коллинеарный вектору Дz. Начнем уменьшать Дt. Тогда точка z (t 0 + Дt) будет приближаться к z (t 0) по кривой; вектор Дz/ Дt будет поворачиваться, приближаясь к вектору

Предельное положение секущих, проходящих через точку z (t 0), называется касательной к кривой в этой точке. Таким образом, вектор z " (t 0) направлен по касательной к кривой в точке z (t 0).

Пусть теперь задана функция f (z), аналитическая в точке z 0 , причем f "(z 0) ? 0. Предположим далее, что через точку z 0 проходит кривая г, заданная уравнением z (t) = x (t) + iy (t), и z (t 0) = z 0 . Кривая г отображается функцией w = f (z) в кривую Г, лежащую в плоскости переменного w; уравнение кривой Г будет иметь вид w (t) = f (z(t)); точка z 0 отобразится в точку w 0 = f (z 0). По правилу дифференцирования сложной функции

w " (t 0) = f " (z 0) ? z " (t 0).(2)

Отсюда следует, что

Arg w " (t 0) = Arg f " (z 0) + Arg z " (t 0).(3)

Но z " (t 0) есть вектор, касательный к кривой г в точке z 0 (рис. 1а), a w " (t 0) -- вектор, касательный к кривой Г в точке w 0 (рис. 1б). Поэтому равенство (3) позволяет придать величине Arg f " (z 0) следующий геометрический смысл: аргумент производной равен углу, на который поворачивается касательная в точке z 0 к любой кривой, проходящей через эту точку, при отображении w = f (z). Заметим, что этот угол не зависит от кривой г, т.е. касательные ко всем кривым, проходящим через точку z 0 , поворачиваются при отображении w = f (z) на один и тот же угол, равный Arg f " (z 0).

Возьмем какие-либо две кривые г и г1 проходящие через точку z 0 , и проведем касательные к этим кривым (рис. 1а). При отображении

w = f (z) кривые г и г1 перейдут в кривые Г и Г 1 , а каждая из касательных к г и г1 повернется на один и тот же угол. Поэтому угол и между касательными к г и г1 будет равен (как по величине, так и по направлению отсчета) углу между касательными к Г и Г 1. Напомним, что углом между кривыми в точке z 0 называется угол между касательными к этим кривым в точке z 0 . Таким образом, если f "(z 0) ? 0, то отображение w = f (z) сохраняет углы между кривыми. Заметим, что при этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми г и г1 и их образами, но и направление углов. Это свойство данного отображения носит название свойства сохранения углов.

Геометрический смысл модуля производной

Зафиксируем точку z 0 и возьмем приращение аргумента Дz; очевидно, что модуль |Дz| равен расстоянию между точками z 0 и z = z 0 + Дz (рис. 2а). Пусть w = f (z), Дw = w -- w 0 . Тогда величина |Дw| / |Дz| указывает, в каком отношении изменяется расстояние между точками z 0 и z в результате отображения w = f (z). Предел называется коэффициентом растяжения в точке z 0 при отображении w = f (z). Поскольку

то модуль | f "(z 0) | равен коэффициенту растяжения в точке z 0 при отображении w = f (z). Если | f "(z 0) | > 1, то в достаточно малой окрестности точки z 0 расстояния между точками при отображении увеличиваются и происходит растяжение; если | f "(z 0)| < 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название свойства постоянного растяжения .

Так как производная f "(zo) не зависит от того, по какому пути точка z 0 + Дz приближается к z 0 , то коэффициент растяжения одинаков во всех направлениях. Это свойство можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем окружность l с центром z 0 и радиусом |Дz| (т.е. приращения Дz имеют фиксированный модуль, но различные направления -- рис. 2а). При отображении w = f (z) эта окружность перейдет в кривую L (рис. 2б); расстояние от точки w = f (z 0 + Дz) этой кривой до точки w 0 = f (z 0) равно

|Дw| = |w- w 0 | = |f (z 0 + Дz) - f (z 0)|.

Поскольку Дw = f " (z 0) Дz + б (Дz) Дz, где б (Дz) > 0 при Дz > 0, то |w - w 0 | = |f " (z 0) Дz + б(Дz) Дz|. Это равенство означает, что точки кривой L будут мало отличаться от окружности |w -- w 0 | = |f " (z 0)| | Дz| с центром w 0 и радиусом |f " (z 0)| | Дz| (точнее говоря, будут отличаться от этой окружности на величину более высокого порядка малости, чем |Дz| -- рис. 2б).

2.Понятие конформного отображения

Отображение называется конформным в точке z 0 , если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z 0 ; 2) растяжение в точке z 0 не зависит от направления.

Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.

Полученные выше результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Если функция w = f (z) является аналитической в точке z 0 и f "(z 0) ? 0, то f (z) осуществляет конформное отображение первого рода в точке z 0 . При этом Arg f " (z 0) означает угол поворота, a |f " (z 0)| -- коэффициент растяжения при данном отображении.

Пример конформного отображения второго рода дает функция (не аналитическая!) w = , которая каждую область D отображает на область Е, симметричную D относительно оси ОХ.

Если f "(z 0) = 0, то отображение, вообще говоря, уже не будет конформным в точке z 0 . Так, отображение w = z 2 увеличивает вдвое углы между лучами в начале координат.

Отметим, что в силу общих свойств аналитических функций в окрестности точки w 0 определена однозначная аналитическая функция z = ц (w). Тем самым между окрестностями точек z 0 и w 0 установлено взаимно однозначное соответствие. Введем следующее фундаментальное определение.

Определение. Взаимно однозначное отображение области? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w называется конформным, если это отображение во всех точках z ? обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.

Подчеркнем, что данное определение подразумевает непрерывность рассматриваемого отображения.

Выясним теперь какими свойствами должна обладать функция комплексной переменной для того, чтобы отображение, осуществляемое этой функцией, было конформным. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция f (z) является однозначной и однолистной аналитической функцией в области? и f " (z) ? 0 при z ?. Тогда функция f (z) производит конформное отображение области? на область G комплексной плоскости w, представляющую собой область значений функции w = f (z) при z ?.

Доказательство. Действительно, в силу условия f " (z) ? 0 при z ? отображение, осуществляемое функцией f (z), во всех точках области? обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений, что и доказывает теорему.

Итак, условия аналитичности, однолистности и отличия от нуля производной функции комплексной переменной являются достаточными условиями конформности отображения, осуществляемого этой функцией. Естественно поставить вопрос, являются ли условия необходимыми. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть функция f (z) осуществляет конформное отображение области? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w и ограничена в?. Тогда функция f (z) является однолистной и аналитической в области?, причем f " (z) ? 0 при z ?.

Доказательство. Так как отображение, осуществляемое функцией f (z), является конформным, то оно является взаимно однозначным, и в любой точке z 0 ? выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений. Следовательно, для любых точек z 1 и z 2 , принадлежащих окрестности точки z 0 , с точностью до бесконечно малых величин выполняются соотношения

где Дz 1 = z 1 - z 0 и Дz 2 = z 2 - z 0 суть бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки z 0 , а Дw 1 и Дw 2 - их образы (рис. 3).

Заметим, что в силу (4) соответствующие углы в точках z 0 и w 0 равны не только по абсолютной величине, но и по направлению. Обозначив arg через, из (4) найдем, что и arg. Действительно,

Из (5) и (6) получим, что с точностью до бесконечно малых величин имеет место соотношение

В силу произвольности выбора точек z 1 и z 2 в окрестности точки z 0 соотношение (7) означает, что существует предел разностного отношенияпри. Этот предел по определению является производной функции f (z) в точке z 0 . Так как, то эта производная отлична от нуля:

Точка z 0 - произвольная точка области?; поэтому из (8) следует, что функция f (z) является аналитической в области? и f " (z) ? 0 при z ?. Однолистность следует из взаимной однозначности отображения. Теорема доказана. Итак, конформное отображение области? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w осуществляется только однолистными аналитическими функциями комплексной переменной с производной, отличной от нуля во всех точках области?.

Отметим, что условие f " (z) ? 0 всюду в области? является необходимым, но недостаточным условием конформности отображения области? на область G, осуществляемого функцией f (z).

3.Общие свойства конформных отображений

Теорема 4. (теорема Римана). Пусть D и D" -- односвязные области на расширенных плоскостях переменных z и w соответственно, причем границы этих областей состоят более чем из одной точки. Тогда существует аналитическая функция, взаимно-однозначно и конформно отображающая D на D".

Из теоремы Римана следует, что односвязную область D нельзя конформно отобразить на единичный круг |w| < 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).

Отображение w = f (z) области D на D", существующее по теореме Римана, не является единственным. Для однозначного определения конформного отображения нужно задать дополнительные условия, называемые условиями нормировки, содержащие три действительных параметра. Например, достаточно в какой-либо одной точке z 0 области D задать значения

w 0 = f(z 0), .(9)

Здесь в качестве параметров выступают две координаты точки w 0 и действительное число. Условия (9) означают, что отображение w = f(z) является единственным, если для какой-либо точки z 0 области D задать ее образ w 0 в области D" и угол поворота бесконечно малых векторов в точке z 0 .

Можно задавать и другие условия нормировки, отличные от (9). Например, задают образы одной внутренней и одной граничной точек области D:

f(z 0) = w 0 , f(z 1) = w 1 ,

где z 0 , w 0 -- внутренние точки областей D, D", a z 0 , w 0 -- граничные точки этих областей. Здесь также присутствуют три действительных параметра: две координаты точки w 0 и положение граничной точки w 1 , которая определяется одним действительным числом (например, расстоянием, отложенным по границе области D" от некоторой фиксированной граничной точки). Укажем еще один вариант условий нормировки:

f(z k) = w k , k = 1,2,3,

где z k и w k -- граничные точки областей D и D".

Сформулируем следующее важное свойство конформных отображений.

Свойство 1. (принцип сохранения области). Если функция w = f(z) аналитична в области D и отлична от постоянной, то множество D", на которое она отображает D, также является областью (т.е. открытым связным множеством).

Перейдем к утверждениям, описывающим соответствие границ при конформных отображениях.

Свойство 2. (принцип соответствия границ). Пусть D и D" -- односвязные области, ограниченные непрерывными замкнутыми контурами Г и Г", составленными из конечного числа гладких кривых. Пусть, далее, функция w = f(z) конформно отображает D на D". Тогда эту функцию можно доопределить и в точках границы Г так, что она станет непрерывной в замкнутой области и отобразит Г взаимно-однозначно и непрерывно на Г ".

Указанное свойство означает, что при конформном отображении друг на друга двух областей между их границами устанавливается взаимно-однозначное и непрерывное соответствие.

Свойство 3. При взаимно-однозначном и конформном отображении областей D и D" сохраняется направление обхода их границ.

Другими словами, если при обходе границы область D остается слева, то и при соответствующем обходе границы области D" эта область остается слева.

Большое значение для построения конформных отображений имеет следующее свойство.

Свойство 4. (обратный принцип соответствия границ).

Пусть односвязные области D и D" ограничены кривыми Г и Г". Пусть, далее, функция w = f(z), аналитическая в D и непрерывная в, отображает Г взаимно-однозначно на Г ", причем, когда точка z обходит контур Г так, что область D остается слева, соответствующая точка w обходит контур Г " так, что область D" также остается слева. Тогда функция w = f(z) осуществляет взаимно-однозначное конформное отображение области D на область D".

Следовательно, для отыскания области, на которую функция w = f(z) отображает заданную область D, достаточно обойти границу области D и найти контур, на который эта граница отображается функцией f(z).

4.Основные функции

Линейная функция

Функция w = az + b,(10) , где а и b -- заданные комплексные числа и а?0, называется линейной функцией. Так как w " = а? 0, то отображение (10) является конформным во всей плоскости С. Докажем, что оно также однолистно в С. Если w 1 = az 1 + b, w 2 = az 2 + b, то w 1 -- w 2 = a(z 1 -- z 2). Поэтому при z 1 ? z 2 получаем, что w 1 ? w 2 , и однолистность установлена. Положив по определению w(?) = ?, получим однолистное отображение всей расширенной комплексной плоскости на.

Для изучения геометрических свойств отображения (10) рассмотрим вначале случай b = 0, т.е. w = az. Пусть а = , z = .Тогда

Поэтому для получения вектора w = az нужно выполнить следующие два действия:

1) умножить заданный вектор z на |а|. При этом направление вектора z останется прежним, но длина увеличится в |а| раз. Значит, умножение на |а| есть преобразование подобия (гомотетия) с центром в начале координат и коэффициентом подобия |а|;

2) повернуть полученный вектор |a|z на угол б.

Для рассмотрения общего случая (10) заметим, что при сложении вектора az с вектором b происходит параллельный перенос концевой точки вектора az на вектор b. Итак, отображение (10) получается путем композиции (т.е. последовательного выполнения) следующих трех операций: 1) преобразования подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия |а|; 2) поворота вокруг начала координат на угол б; 3) параллельного переноса на вектор b.

Дробно-линейная функция.

Перейдем к изучению дробно-линейной функции, определяемой равенством

и соответствующего дробно-линейного отображения. Так как

то естественно определить w(?) = а/с, w(--d/c) = ?. Определенная таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости.

Если с = 0, то w = и дробно-линейная функция сводится к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предполагается, что с? 0.

Умножим числитель и знаменатель дроби (11) на с и добавим в числителе +ad -- ad. Тогда дробь (11) можно представить в виде

Если bc -- ad = 0, то w = a/c и функция (11) сводится к постоянной. В дальнейшем считаем выполненными условия

с? 0, bc - ad ? 0.(13)

Покажем, что дробно-линейная функция (11) осуществляет взаимно-однозначное отображение на. С этой целью решим уравнение (11) относительно z (это возможно при z ? --d/c, z ? ?, w ? а /с, w ? ?):

Поэтому каждое значение w ? а/с и w ? ? имеет только один прообраз z ? - d/c и z ? ?. Но в силу определения значению w = а/с соответствует z = ?, а значению w = ? -- величина z = --d/c. Итак, каждая точка w имеет только один прообраз z , что и требовалось доказать.

Установим теперь конформность отображения (11). Так как

то при z ? - d/c и z ? ? производная w" существует и не равна нулю. По теореме 1 дробно-линейное отображение является конформным всюду, кроме этих двух точек.

Для выяснения конформности при z = - d/c и z = ? нам понадобится следующее определение.

Под углом между двумя линиями в точке z = ? понимается угол между образами этих линий при отображении w = в начале координат.

Теорема 5. Дробно-линейная функция

Ad -- bс? 0, w(?) = а/с, w(- d/c) = ?, (14)

осуществляет взаимно-однозначное и конформное отображение расширенной комплексной плоскости на всю.

Мы не исключаем случай с = 0 в теореме 5, так как в этом случае дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей всеми свойствами, указанными в теореме 5.

Установим теперь круговое свойство дробно-линейного отображения. Для единообразия дальнейших формулировок удобно рассматривать прямую как окружность бесконечно большого радиуса.

Теорема 6. При дробно-линейном отображении (14) окружности всегда переходят в окружности.

(Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в окружность бесконечного радиуса, т.е. в прямую, и наоборот.)

Доказательство. Рассмотрим уравнение

А(х 2 +у 2) + Вх + Су + D = 0,(15)

где А, В, С, D -- действительные коэффициенты. При А = 0 получаем Вх + Су + D = 0, т.е. уравнение прямой. Если А? 0, то, разделив на А и выделив полные квадраты, придем к равенству

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = ± R 2

которое определяет либо окружность, если справа +R 2 , либо точку, если R = 0, либо пустое множество, если справа -R 2 . С другой стороны, любую окружность (в частности, прямую) можно задать уравнением вида (15).

Докажем вначале круговое свойство для отображения w = 1/z. Возьмем произвольную окружность на комплексной плоскости. Она задается уравнением (15). Обозначим z = х + iy, w = u + iv. Равенство w = 1/z дает z = 1/w, или

Чтобы получить уравнение кривой, в которую перейдет окружность при отображении w = 1/z, подставим в (15) найденные выражения для х и у:

A + B u - C v + D (u 2 + v 2) = 0

Мы пришли к уравнению такого же вида, что и (15), но в плоскости переменного w = u + iv. Как мы видели ранее, такое уравнение определяет либо окружность (в частности, прямую при D = 0), либо точку, либо пустое множество. Но в силу взаимной однозначности дробно-линейного отображения окружность не может перейти в точку или в пустое множество. Значит, она переходит в окружность и круговое свойство отображения w = 1/z установлено.

Рассмотрим теперь общий случай дробно-линейного отображения (14). Если с = 0, то получим линейное отображение w = a 1 z + b 1 , которое сводится к растяжению с поворотом и сдвигу. Каждое из этих преобразований, очевидно, обладает круговым свойством. Значит, и для отображения w = a 1 z + b 1 данное свойство имеет место.

Пусть теперь с? 0. Воспользовавшись равенством (12), представим дробно-линейное отображение в виде

где Е = , F =, G =.

Из равенства (16) следует, что дробно-линейное отображение представлено в виде композиции следующих трех преобразований:

1) w 1 = z + G; 2) w 2 = 1/w; 3) w = E + Fw 2 . Как было установлено выше, каждое из этих преобразований окружность переводит в окружность. Значит, их композиция также обладает этим свойством, что и требовалось доказать.

Чтобы сформулировать еще одно свойство дробно-линейных отображений, нам понадобиться следующее определение.

Точки А и А" называются симметричными относительно окружности радиуса R < ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и

ОА* ОА" = R 2 .(17)

Если точка А приближается к окружности (см. рис. 4), т.е. если ОА > R, то О А" тоже стремится к R; всякая точка на окружности симметрична самой себе; если ОА > 0, то ОА" > ?. Поэтому для точки О симметричной будет бесконечно удаленная точка. Под симметрией относительно

окружности радиуса R = ? понимается обычная симметрия относительно прямой.

Лемма 7. Для того чтобы точки А и А" были симметричными относительно окружности Г (возможно, бесконечного радиуса), необходимо и достаточно, чтобы любая окружность, проходящая через А и А", была перпендикулярна Г (рис. 5).

Доказательство. Необходимость. Пусть точки А и А" симметричны относительно окружности Г. Проведем произвольную окружность Г " через точки А и А" , и пусть В -- точка пересечения окружностей Г и Г". По известной теореме о секущей и касательной произведение секущей ОА" на ее внешнюю часть ОА равно квадрату касательной. В то же время, в силу

симметрии, ОА * ОА" = R 2 . Значит,

радиус ОВ является касательной к окружности Г". Поскольку радиус ОВ перпендикулярен касательной к Г, проходящей через точку В, то окружности Г и Г" перпендикулярны, что и требовалось доказать. Если Г" -- прямая (это будет в случае А = 0), то она проходит через точку О и, следовательно, также перпендикулярна Г.

Достаточность. Пусть точки А и А" таковы, что любая окружность (в частности, прямая), проходящая через них, пересекает Г под прямым углом (см. рис. 5). Докажем, что А и А" симметричны относительно Г. Так как прямая АА" перпендикулярна Г, то она проходит через точку О. Значит, точки О, А, А" лежат на одной прямой. Но они лежат и на одном луче, выходящем из точки О. Действительно, если бы точки А и А" лежали по разные стороны от точки О, то окружность с диаметром АА" не была бы перпендикулярна Г.

Проведем произвольную окружность Г " через А и А" с радиусом R" < ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г". По условию, Г и Г" пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г ". По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА" = R 2 . Следовательно, точки А и А" симметричны относительно Г.

Мы доказали лемму 7 в случае R < ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.

Теперь мы готовы установить следующее свойство дробно-линейных отображений (свойство сохранения симметрии):

Теорема 8. При дробно-линейном отображении (14) пара точек, симметричных относительно окружности (в частности, прямой), переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Доказательство. Пусть точки z 1 и z 2 симметричны относительно окружности Г. При дробно-линейном отображении (14) Г перейдет в кривую г, которая по теореме 6 также является окружностью; точки z 1 и z 2 перейдут в точки w 1 и w 2 . Надо доказать, что w 1 и w 2 симметричны относительно г. Возьмем любую окружность г ", проходящую через w 1 и w 2 ,и рассмотрим ее прообраз Г " при отображении (14) (т.е. множество точек на плоскости переменного z, переходящих в г "). Для этого выразим z из уравнения (14):

при ad - bc ? 0

Мы видим, что Г " получается из г" также дробно-линейным отображением. Поскольку г ` является окружностью, то по теореме 6 Г ` -- тоже окружность. Так как Г ` проходит через точки z 1 и z 2 , симметричные относительно Г, то по лемме 7 окружность Г ` перпендикулярна Г. В силу конформности дробно-линейного отображения и г ` перпендикулярна г. По лемме 7 отсюда следует, что точки w 1 и w 2 симметричны относительно г, и доказательство завершено.

Установленные свойства дробно-линейных отображений позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в частности, прямыми).

Степенная функция. Понятие римановой поверхности.

Рассмотрим степенную функцию

где n -- натуральное число. Производная w" = nz n -1 существует и отлична от нуля во всех точках z ? 0, z ? ?. Поэтому отображение, осуществляемое функцией (18), является конформным во всех точках, кроме z = 0 и z = ?. Если записать переменные z и w в показательной форме, z = r e i ц, w = се i и, то (18) приводит к равенствам

с = r n , и = nц.

Отсюда видно, что окружности |z| = r переходят в окружности |w| = r n , угол 0 < ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.

Пусть точки z 1 и z 2 таковы, что z 2 = z 1 e i 2 р / n , n ? 2. Легко видеть, что z 1 ? z 2 , и. Поэтому отображение (18) не является однолистным во всей комплексной плоскости С, но является таковым внутри любого угла величиной б < 2 р /n с вершиной в начале координат.

Чтобы ввести функцию, обратную степенной, нам нужны следующие определения.

Многозначной функцией комплексного переменного называется правило (закон), по которому комплексному числу z из множества D соответствует несколько (возможно, бесконечно много) комплексных чисел w.

Все функции, рассмотренные ранее (кроме функции Arg z), были однозначными. Функция Arg z является многозначной:

Arg z = arg z + 2рk ,

где arg z -- главное значение аргумента и к -- любое целое число. В дальнейшем под термином функция, используемым без каких-либо пояснений, подразумевается однозначная функция; многозначность изучаемых функций всегда будет оговариваться дополнительно.

Пусть функция w = f(z) отображает область D на область Е. Обратной к функции w = f(z) называется функция (вообще говоря, многозначная) z = g(w), определенная на области Е, которая каждому комплексному числу w Е ставит в соответствие все комплексные числа zD, такие что f(z) = w.

Другими словами, функция, обратная к w = f(z), -- это правило, по которому каждой точке wЕ соответствуют все ее прообразы zD.

Если функция w = f(z) однолистна в D, то обратная функция однозначна (и также однолистна) в Е; если w = f(z) не однолистна, то обратная функция будет многозначной. Например, обратной к функции w = z n является многозначная функция z = : каждому значению w, отличному от 0 и?, соответствует n различных корней n-й степени, определяемых формулой

Числа 0 и? имеют по одному корню: , а.

Теорема 9. Пусть функция w = f(z) однолистна и аналитична в области D, отображает D на область Е и f "(z) ? 0. Тогда обратная функция z = g(w) также аналитична в области Е и

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку zD и возьмем приращение Дz ? 0. Тогда, в силу однолистности функции w = f(z), соответствующее приращение Дw = f(z + Дz) -- f(z) также не равно нулю. Поэтому

Так как функция w = f(z) аналитична, то она непрерывна в точке z.

Следовательно, Дw > 0 при Дz > 0, а в силу взаимной однозначности верно и обратное: Дz > 0 при Дw > 0. Отсюда

что и требовалось доказать.

Аргументом функции z = g(w), обратной w = f(z), является переменная w. Поскольку аргумент функции часто обозначают через z, то для единообразия переобозначают переменные z и w и пишут w = g(z). Например, обратная функция к w = z n запишется как w = .

Рассмотрим подробнее функцию w = . Как было отмечено выше, она является многозначной. Тем не менее можно определить эту функцию на множестве более сложного устройства, чем комплексная плоскость, на котором функция w =станет взаимно-однозначной и непрерывной. Опишем соответствующее множество. Возьмем n экземпляров ("листов") D 0 , D 1 ,..., D n -1 комплексной плоскости, разрезанной вдоль положительной полуоси, и расположим их друг над другом (на рис. 6а показан случай n = 4).

Затем тот край разреза области D 0 , к которому мы подходим снизу от луча ОХ (т.е. по полуплоскости у < 0), склеим с верхним краем разреза области D 1 ; нижний край разреза области D 1 склеим с верхним краем разреза области D 2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза D n -2 с верхним краем разреза D n -1 . Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D n -1 (на рис. 6а это D 3) с верхним краем разреза области D 0 . В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.

Она называется римановой поверхностью функции w = . Над каждой точкой комплексной плоскости, отличной от 0 и?, расположено ровно n точек римановой поверхности. Точки х > 0 действительной полуоси не составляют исключения, так как все склейки, расположенные над ней, считаются непересекающимися. Лишь две точки не обладают этим свойством: z = 0 и z = ?.Все листы римановой поверхности считаются склеенными в точках, расположенных над точками z = 0 и z = ?.

Определим теперь функцию w = на построенной римановой поверхности. Напомним, что если z = r e iц, то все корни n-й степени из z определяются формулой (*):

Угол ц в этой формуле можно выбирать из любого промежутка длины 2р; нам удобно предполагать, что 0 ? ц < 2р.

Точкам z = r e iц, лежащим на листе D 0 и склейке D 0 с D n -1 , ставим в соответствие значение корня с k = 0; точкам, лежащим на листе D 1 и склейке D 1 с D 0 , -- значение корня с k = 1. Вообще, точкам, лежащим на D k , при 1 ? k ? n-1, и склейке D k , с D k -1 , соответствует значение корня с данным k. Построенное соответствие будет однозначной функцией на римановой поверхности.

Нетрудно показать, что эта функция взаимно-однозначно отображает риманову поверхность на всю комплексную плоскость. Действительно, лист D k будет отображаться в угол, а склейки отобразятся в лучи, соединяющие эти углы; тем самым вся комплексная плоскость будет покрыта образами точек римановой поверхности.

Покажем, что это отображение является и непрерывным. Если точка z лежит на листе D k с разрезом, то непрерывность в этой точке прямо следует из формулы (20) с фиксированным к. Для демонстрации непрерывности в точках склеек рассмотрим контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над окружностью |z| = 1 комплексной плоскости. Начнем обходить этот контур с точки z, расположенной на верхнем крае разреза листа D 0 . Так как r = 1, ц = 0, k = 0, то w = = 1. При обходе первого витка контура на листе D 0 будет

и. Перейдя по склейке на лист D 1 , мы получим, по определению, (так как к = 1). В частности, при ц = 0 будет то же самое значение корня, к которому мы приближались, подходя к нижнему берегу разреза по листу D 0 . Значит, в точках склейки D 0 c D 1 функция будет непрерывной. Аналогично показывается непрерывность корня и при переходе с D k -1 на D k при 1 ? k ? n-1. Наконец, обходя контур по листу D n -1 и приближаясь к нижнему краю разреза, получим k = n - 1, и,

т.е. то самое значение, с которого мы начинали на верхнем крае разреза листа D 0 . Таким образом, функция будет непрерывной во всех точках римановой поверхности. Как функция, обратная к аналитической, она является также однозначной аналитической функцией на этой поверхности (кроме точек z = 0 и z = ?).

Возьмем любую окружность |z| = r на комплексной плоскости, охватывающую точку z = 0. Эта окружность будет охватывать также и точку z = ?. Обходя контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над этой окружностью, мы будем переходить с одного листа римановой поверхности на другой. Поэтому точки z = 0 и z = ? называются точками ветвления. Ни одна другая точка описанным свойством не обладает: если взять окружность с центром в точке z ? 0, z ? ?, не содержащую внутри себя точку 0, то соответствующие точки на римановой поверхности образуют n окружностей, не связанных друг с другом. Обходя каждую из них, мы не выйдем за пределы одного и того же листа.

Однозначная аналитическая в области D функция f (z) называется регулярной ветвью многозначной функции F (z), определенной в этой же области, если значение f (z) в каждой точке z области D совпадает с одним из значений F (z) в этой точке.

Многозначная функция F (z) является однозначной и аналитической на своей римановой поверхности (за исключением точек ветвления). Поэтому возможность выделить в области D регулярную ветвь означает возможность расположить эту область на римановой поверхности, не разрезая D и не задевая точек ветвления. Область D должна при этом целиком укладываться на одном листе или спускаться по склейке с одного листа на другой (как ковер по лестнице). Например, кольцо 1 < |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

Показательная и логарифмическая функции

1. Показательная функция e z определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = х + iу

e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y).(21)

Второе равенство в (21) получается, если принять по определению е х + i у = е х е i у и применить к е i у формулу Эйлера. Из (21) следует, что

|e z | = |е x + i у | = е x , Arg e z = у + 2 рn.

Определение (21) и свойства функции е i ц позволяют легко доказать, что функция e z обладает обычными свойствами показательной функции:

e z 1+ z 2 = e z 1 e z 2 ; e z 1 - z 2 = e z 1 /e z 2 ;(e z) n = e nz .

Докажем, что функция e z будет аналитической во всей комплексной плоскости С. Для этого надо проверить выполнимость условий Коши--Римана (7). Если w = u + iv, то в силу (21) u + iv = е х cos у + iе х sin у, откуда

u = е х cos у, v = e x sin y;

Таким образом, условия (7) выполнены, и аналитичность функции e z доказана. Чтобы вычислить производную (e z)", воспользуемся независимостью производной от направления и вычислим производную в направлении оси ОХ:

Следовательно, для производной функции e z имеет место обычная формула

Следующее свойство функции e z не имеет аналога в случае показательной функции действительного переменного: функция e z является периодической с чисто мнимым периодом 2рi. В самом деле, для любого целого n

e z +2 рni = e x (cos(y + 2рn) + i sin(у+2рn)) = е x (cos y + i sin y) = e z .

Из периодичности функции w = e z следует, в частности, что она не является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения, в каких областях эта функция однолистна, положим z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = х 2 + iy 2 . В силу (21), равенство e z 1 = e z 2 равносильно следующим условиям:

e x 1 = e x 2 , cos y 1 = cos y 2 , sin y 1 = sin y 2 ,

откуда следует х 1 = x 2 , y 1 = y 2 + 2рn, где n -- произвольное целое число, или

z 1 - z 2 = 2рni.(22)

Следовательно, для взаимной однозначности отображения w = e z в области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никакой пары точек, для которой справедливо (22). В частности, этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2р, например полосы

{z: - ? < х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...

Каждой такой полосе соответствует совокупность значений w = e z = e x e iy = сe iи для которых, в силу равенств с = е х, и = у, имеем

0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).

Эти значения w заполняют всю комплексную плоскость переменного w с разрезом по действительной положительной полуоси. При этом прямые у = у 0 (показаны на рис. 7, а пунктиром) переходят в лучи и = у 0 (рис. 7б), а интервалы x = x 0 , 2рk< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями

для k = 0) -- в окружности сe x 0 (с выколотыми точками на полуоси u > 0). Полосы 0 < Im z < h < 2 р показательная функция e z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.

2. Логарифмической функцией называется функция, обратная показательной.

Так как показательная функция e z не является однолистной в С, то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция обозначается Ln z. Таким образом, если w = Ln z, то z = e w . Положим

w = u + iv, z = r e iц = re iArg z .

re iArg z = z = e w = e u + iv = e u e iv .

Сравнивая числа, стоящие в начале и конце этой цепочки, заключаем, что

r = e u , e i Arg z = e iv .(23)

Из первого равенства находим u = ln r, где ln r -- обычный натуральный логарифм положительного числа r. Второе равенство в (23) дает v = Arg z. Таким образом,

Lnz = ln |z| + i Arg z.(24)

Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и?, формула (24) ставит в соответствие бесконечное множество значений Ln z, отличающихся друг от друга на величину 2 рki, где k -- любое целое число. Удобно представить Arg z в виде

Arg z = arg z + 2 рk, - р < arg z ? р,

где arg z -- главное значение аргумента. Тогда формула (24) примет вид

Ln z = ln |z| +i(arg z + 2рk).(25)

Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной полуоси; она также и аналитична в этой области как функция, обратная аналитической функции e z . Таким образом, для каждого фиксированного k формула (25) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z. Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с разрезом по отрицательной полуоси в полосу

Р + 2 рk < Im w < р + 2рk.

Ветвь, которая получается при k = 0, обозначается ln z и называется главным значением многозначной функции Ln z:

ln z = ln |z| + i arg z.

Например, ln i = ln 1 + iр/2 = iр/2; ln(-i) = ln 1 -- iр/2 = --iр/2. Если приближаться к точке z = -- 1 по верхней полуплоскости у > 0, то; если по нижней, -- то.

Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z, возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с разрезом по отрицательной полуоси и склеим их так, как показано на рис. 8. Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = ?,

располагается бесконечно много точек римановой поверхности. В точках 0 и? функция Ln z не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0 и z = ? называются точками ветвления бесконечного порядка.

Рис. 8 наглядно демонстрирует причину того, что: если предположить, что точки -- 1 ± h, h > 0, находятся на одном и том же листе римановой поверхности и устремить h, к нулю, то предельные положения этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.

Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной полуоси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом и к оси ОХ. Тогда регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = e iц

Ln z = ln r + i(ц + 2рk), и < ц < и + 2 р.

Формула (25) является частным случаем при и = - р. Производная каждой регулярной ветви f (z) логарифма находится по формуле, аналогичной формуле для производной логарифмической функции действительного переменного. Этот факт выводится из равенства (e z)" = e z и формулы (19) производной обратной функции. Действительно, обратной к w = f(z) будет функция z = e w . Отсюда и из (19) получаем

Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского

1. Общая степенная функция, где -- фиксированное комплексное число, определяется соотношением.

Полагая, получаем Ln z = ln r + i(ц + 2рk). Следовательно,

Отсюда видно, что при модуль принимает бесконечное множество значений. Таким образом, при функция будет бесконечнозначной.

Общая степенная функция в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей в тех же областях, что и логарифмическая; например в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь, выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси, называется главной ветвью степенной функции. В силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства

где f (z) -- регулярная ветвь логарифмической функции Ln z. Мы получили обычную формулу для производной степенной функции:

2. Перейдем к тригонометрическим функциям. Для действительных значений х из формулы Эйлера следует, что

е i х = cos х + i sin x, е - i х = cos x -- i sin x.

Отсюда cos x = , sin x =. Эти формулы служат основой следующего определения.

Тригонометрические функции комплексного переменного z определяются равенствами

Определенные таким образом функции сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. Из периодичности функции e z следует, что функции sin z и cos z периодичны с периодом 2 р, a tg z и ctg z -- с периодом р. Функция sin z нечетна, a cos z -- четна. Действительно,

Аналогично доказывается четность функции cos z. Для функций, определенных равенствами (26), справедливы обычные тригонометрические соотношения. Например,

sin 2 z + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2 и т.д. Все эти соотношения вытекают из (26).

Функции sin z и cos z аналитичны во всей плоскости С, причем имеют место обычные формулы дифференцирования:

(sin z) " = cos z, (cos z) " = - sin z.

Докажем, например, формулу для производной sinz:

Используя формулы для производной частного, получим

Однако не все свойства тригонометрических функций действительного переменного сохраняются при продолжении этих функций в комплексную плоскость. В частности, sinz и cosz могут принимать значения, по модулю превосходящие 1. Например,

3. Функции, обратные (26), называются обратными тригонометрическими функциями. Так как тригонометрические функции (26) периодичны, то обратные к ним функции будут бесконечнозначными. В силу того что функции (26) достаточно просто выражаются через показательные, обратные к ним функции удается выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для w = Arccos z. Из определения этой функции имеем

откуда e 2 i w -- 2ze i w + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение относительно e i w , находим (мы опускаем ± перед знаком квадратного корня, поскольку понимаем корень как двузначную функцию, принимающую оба соответствующих значения). Из последнего равенства получаем

В силу соотношения изменение знака перед корнем приводит к изменению знака перед логарифмом. Но корень принимает значения как с "+" так и с "--". Значит, и среди значений Arccos z будут значения как с "+", так и с " --" перед логарифмом. Поэтому знак "--" можно не писать:

Аналогичные формулы можно дать и для других обратных тригонометрических функций:

Из элементарных функций комплексного переменного отметим также гиперболические функции sh z, ch z, th z, и cth z, определяемые равенствами

Они весьма просто выражаются через тригонометрические функции:

sh z = -- i sin iz,

th z = -- i tg iz, cth z = i ctg iz,

и поэтому несущественно отличаются от последних.

Функцией Жуковского называется функция

Эта функция имеет важные применения в теории крыла самолета, а также весьма полезна при построении ряда конформных отображений. Она аналитична всюду в, кроме точек z = 0 и z = ?. Производная

существует всюду в, за исключением точек z = 0 и z = ?, и обращается в нуль при z = ±1. Поэтому отображение (30) конформно всюду, кроме точек 0, ±1 ,?.

Выясним, при каком условии две различные точки переходят в одну и ту же точку. Пусть z 1 ? z 2 и.

Отсюда следует, что.

Так как z 1 ? z 2 , то это равенство равносильно условию z l z 2 = 1.(31)

Поэтому для однолистности функции Жуковского в некоторой области D необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала пары различных точек, удовлетворяющих условию (31). Такими областями являются, например, внешность |z| > 1 единичного круга (при этом |z 1 z 2 | > 1) и внутренность |z| < 1 этого круга (|z 1 z 2 | < 1).

Чтобы наглядно представить себе отображение (30), выясним, в какие кривые оно переводит окружности (показаны на рис. 9а сплошными линиями) и лучи (показаны пунктирами). Положим z =. Тогда (30) перепишется в виде

откуда (32)

Рассмотрим образы окружностей r = r 0 . Из (32) следует

Возводя эти равенства в квадрат, складывая и полагая r = r 0 , получим

Уравнение (33) является уравнением эллипса с полуосями

Итак, образами окружностей |z| = r 0 в плоскости z будут эллипсы в плоскости w (рис. 9б). Если r 0 > 1, то a r 0 > 1, b r 0 > 0. Поэтому эллипсы будут стягиваться к отрезку [--1,1]. При больших r 0 разность a r 0 -- b r 0 = мала, и эллипсы мало отличаются от окружностей.

Чтобы получить образ лучей, преобразуем равенства (32) к виду

Возводя эти равенства в квадрат, вычитая из первого второе и полагая

Получим (34)

Уравнение (34) является уравнением гиперболы с полуосями,. Следовательно, лучи отображаются в части гипербол (рис. 9б). Таким образом, функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [-1,1].

Из (30) легко видеть, что w(z) = w(l/z). Функция w = 1/z взаимно-однозначно и конформно отображает внутренность круга |z| < 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].

...

Подобные документы

Сущность конформного отображения 1 и 2 рода, аналитической функции в заданной области. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции. Величина коэффициента растяжения в точке. Сохранение функции отличной от нуля по величине и напряжению.

презентация , добавлен 17.09.2013


Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.

презентация , добавлен 18.12.2014


Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.

презентация , добавлен 21.09.2013


Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.

презентация , добавлен 14.11.2014


Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.

статья , добавлен 11.01.2004


Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.

реферат , добавлен 17.05.2009


Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.

контрольная работа , добавлен 07.09.2010


Понятие конформного отображения и его основные свойства. Основные принципы конформных отображений функций комплексного переменного, их гидродинамические аналогии и интерпретации. Применение метода конформных отображений в механике сплошных сред.

дипломная работа , добавлен 26.08.2014


Первообразная функции и неопределенный интеграл. Геометрический смысл производной. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х. Понятие подынтегрального выражения. Проверка правильности результата интегрирования, примеры задач.

презентация , добавлен 18.09.2013


Задача на нахождение модуля и аргумента заданных чисел, пример решения. Область дифференцируемости заданной функции, действительная часть производной. Правило для определения уравнения образа кривой. Нахождение действительной и мнимой части функции.

Для нахождения образа какого-нибудь множество Е (линии, области), заданного на комплексной плоскости z с помощью некоторых условий А (уравнений, неравенств), при отображении поступают следующим образом. Из условий А и равенства , где , , исключая x, y или , получают новые условия через u, v или . Эти условия описывают некоторое множество на плоскости w, которое и будет образом множества Е при отображении .

Конформные отображения многих областей друг на друга осуществляются с помощью элементарных функций. Часто применяются следующие функции.

1. - параллельный перенос на вектор .

2. - преобразование подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия .

3. - поворот вокруг начала координат на угол .

4. - степенная функция. Отображает угол конформно на угол (рис. 11). При этом сектор переходит в сектор , область - в область , а дуга окружности - в дугу окружности .

В дальнейшем в случае многозначности функции (это будет, когда - нецелое число) под будем понимать ту однозначную ветвь, которая в точке z = 1 принимает значение

5. - показательная функция. Отображает полосу , конформно на угол (рис.12). При этом полуполоса переходит в сектор , а полуполоса - в область .

6. - функция Жуковского. Отображает единичный круг , а также внешность единичного круга конформно на плоскость с разрезом по отрезку [-1; 1] (рис. 13). При этом области

(нижний полукруг и верхняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в верхнюю полуплоскость , а области (верхний по-лукруг и нижняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в нижнюю полуплоскость .

7. - дробно-линейная функция. Ее основные свойства приведены в теоретической части занятий 7, 8.

На практике часто встречаются области следующих типов, которые бывает надо отобразить конформно на верхнюю полуплоскость.

1. Области, границы которых имеют две угловые точки (рис. 14).

Используя какую-нибудь дробно-линейную функцию, отобразить

одну из угловых точек в 0, а другую в , после чего получится угол с вершиной в начале координат. Далее осуществить поворот и применить степенную функцию.

2. Круг, внешность круга или полукруг с разрезом (рис. 15).

Применить преобразование подобия и функцию Жуковского, после чего получится плоскость или полуплоскость с разрезами.

3. Области, ограниченные окружностями (прямыми) или дугами окружностей, которые имеют точку касания (рис. 16).

Используя дробно-линейную функцию, отобразить точку касания в , после чего получится полоса или полуполоса. Далее применить показательную функцию.

4. Области, границы которых имеют три и более угловых точек (рис.17).

Используя степенную функцию, выпрямить некоторые из углов.

Задачи

1. Найти образ прямой при отображении .

Решение . Пусть Тогда из условия Re z = и равенства , т.е. равенства имеем х = , откуда, исключая x и y, получим . Следовательно, образом прямой Re z = будет парабола .

2. Найти образы прямых при отображении .

Решение . Считая , из равенства

находим: . Присоединяя к этим равенствам условие и исключая из полученных равенств х и у, получим . Это уравнение описывает логарифмическую спираль при и луч при = 0.

3. Найти образ верхней полуплоскости с разрезом по отрезку , при отображении .

Решение. Функция отображает верхнюю полуплоскость, рассматриваемую как угол , на угол , т.е. на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси . Из этой области надо выкинуть еще образ отрезка при отображении . Отрезок задается условиями х = 0, . Из этих условий и равенств полу-чаемых из равенства , исключая х и у, получим: . Значит, образом отрезка будет отрезок , а образом исходной области будет плоскость с разрезом по лучу .

4. Найти какие-нибудь конформные отображения на верхнюю полуплоскость Im z > 0 следующих областей:

в) плоскость с разрезом по лучам и ;

г) верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку ;

д) внешность единичного круга с центром в точке 0 и с разрезом по лучу ;

е) верхнюю половину единичного круга с разрезом по отрезку ;

ж) сектор ;

з) полуполосу ;

л) полосу с разрезом по лучу .

Решение. Последовательности отображений, с помощью которых осуществляются конформные отображения заданных областей на верхнюю полуплоскость, а также области, получаемые при этих отображениях, указаны на следующих рисунках.

Границы заданной области имеет две угловые точки -1 и 1, которые с помощью функции z 1 отображаются соответственно в и 0. Точка z = угловой точкой границы не является, так как на бесконечности лучи и , рассматриваемые как единая часть прямой Im z = 0, угол не образуют. Функция z 1 отображает заданную область на угол величины с вершиной в начале координат, который с помощью степенной функции отображается на угол величины , т.е. на верхнюю полуплоскость.

Так как при отображении z 1 лучи и в совокуп-ности переходят в один луч , то образом заданной области при отображении z 1 будет вся плоскость с разрезом по лучу , т.е. угол величины с вершиной в начале координат, который с по-мощью функции отображается на верхнюю полуплоскость.

Функция Жуковского z 1 отображает внешность единичного круга на внешность отрезка , а разрез по лучу на луч . Поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет внешность отрезка , откуда выкидывается еще луч , т.е. будет плоскость с разрезом по лучу .

Преобразование отображает единичный верхний полукруг на единичный круг с разрезом по отрезку , а отрезок на отрезок , поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет единичный круг с разрезами по отрезкам и . Полученная область отображается функцией Жуковского z 2 на плоскость с разрезом по лучу , так как при этом отображении единичный круг переходит во внешность отрезка , отрезок на отрезок , а отрезок на луч .

Граница исходной области имеет точку касания z = 0, которая с помощью функции отображается в . При этом сама область переходит в полосу.

Для отображения полуполосы, изображенной на плоскости z 3 , на верхнюю полуплоскость воспользовались ответом примера з), где брали . Тогда .

При отображении полоса переходит в угол , т.е. в плоскость с разрезом по лучу , а разрез переходит в луч , поэтому исходная область переходит в плоскость с разрезами по лучам и . Далее воспользовались ответом примера в).

5. Отобразить полукруг на круг так, чтобы .

Решение. Сначала найдем какое-нибудь конформное отображение заданного полукруга на верхнюю полуплоскость. Одно из таких отображений дается последовательностью конформных отображений, указанных на следующих рисунках.

отображает заданный полукруг конформно на верхнюю полуплоскость. При этом внутренняя точка перейдет в точку , а граничная точка 2 в точку 1. Отобразим теперь полуплоскость на круг так, чтобы точка перешла в точку 0, а точка 1 в точку 1. Так как искомое отображение является дробно- линейным, то при этом согласно свойству симметрии дробно-линейной функции точка , симметричная точке относительно границы полуплоскости , перейдет в точку , симметричную точке 0 относительно границы круга . Следовательно, искомое отображение переводит точки , , 1 соответственно в точки 0, , 1. Оно находится из соотношения

где . Эта функция отображает заданный полукруг на единичный круг так, что .

дипломная работа

1.1 Понятие конформного отображения и его основные свойства

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойством сохранения углов по величине и направлению и свойством постоянства растяжений малых окрестностей отображенных точек, называется конформным отображением.

Для обеспечения взаимной однозначности отражения выделяют области однолистности функции. Область D называется областью однолистности функции f(z), если.

Основные свойства конформных отображений:

1) постоянство растяжений. Линейное в точке одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и равно;

2) сохранение углов. Все кривые в точке поворачиваются на одинаковый угол, равный.

Функция отображает точки z- плоскости (или римановой поверхности). В каждой точке z, такой что f(z) аналитична (т.е. однозначно определена и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки) и, отображение конформно, т.е. угол между двумя кривыми, проходящими через точку z, переходит в равный по величине и направлено отсчета угол между двумя соответствующими кривыми в плоскости.

Бесконечно малый треугольник около такой точки z отображается в подобный бесконечно малый треугольник - плоскости; каждая сторона треугольника растягивается в соотношении и поворачивается на угол. Коэффициент искажения (локальное отношение малых площадей) при отображении определяется якобианом отображения

в каждой точке z, где отображение конформно.

Конформное отображение преобразует линии в семейство ортогональных траекторий в w- плоскости.

Область z- плоскости, отображающаяся на всю w-плоскость функцией f(z), называется фундаментальной областью функции f(z).

Точки, где, называются критическими точками отображения.

Отображение, которое сохраняет величину, но не направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или конформным отображением второго рода.

Отображение конформно в бесконечно удаленной точке, если функция конформно отображает начало в - плоскость.

Две кривые пересекаются под углом в точке, если преобразование переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом в точке.

Аналогично, конформно отображает точку конформно в точку .

Алгебраические группы матриц

Пусть и --- арифметические линейные пространства столбцов высоты и соответственно. Пусть, далее, --- матрица размера. Определим отображение, полагая для любого где --- столбцы матрицы. Так как они имеют высоту...

Биекторы в конечных группах

Определение. Пусть --- группа и --- класс групп. Если и, то --- -подгруппа группы. Определение. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы, которая не содержится ни в какой большей -подгруппе. Определение...

Векторные поля

Определение ротора векторного поля: Ротором или вихрем векторного поля называется вектор с проекциями Основные свойства ротора: -- это векторная величина, которая является дифференциальной (т.е. точечной) характеристикой векторного поля...

Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек

Седловые поверхности в известном смысле противоположны по своим свойствам выпуклым поверхностям. Как и выпуклые поверхности, они могут быть определены чисто геометрически...

Китайская Теорема об остатках и её следствия

В данном параграфе мы рассмотрим целые числа, а обозначать их будем латинскими буквами. Возьмём произвольное фиксированное натуральное число p и будем рассматривать остатки при делении на р различных целых чисел...

Математические основы системы остаточных классов

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число p и будем рассматривать остатки при делении на р различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю...

Математическое моделирование технических объектов

Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта...

Определенный интеграл

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: . 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Если, то, по определению, полагаем 4...

Практическое применение квадратурных формул с весом Чебышева-Эрмита

Пусть на всей оси задана четная весовая функция. (1.1) Дифференцируя эту функцию последовательно, находим (1.2) По индукции легко доказать, что производная порядка n от функции (1.1) есть произведение этой функции на некоторый многочлен степени n...

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке...

Решение задачи обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью в кватернионах

Кватернионы были введены в математику Уильямом Роуэном Гамильтоном (William Rowan Hamilton) 1]. Они являются хорошим инструментом для решения многих задач, связанных с трехмерным пространством, и учитывают его особенности...

Статистическое моделирование

Для того чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами. 1. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. М= .(22.1) Если равенство (22...

Тригонометрические функции

Циклоида

Определение циклоиды, введенное ранее, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия -- скорости, сложения движений и т. д...

Экстремальная задача на индексационных классах

Нам понадобятся два факта из . 1. Для любого существует и единственная ФР. 2. Если, то множество одноэлементно. Если, то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок обозначает слабую сходимость)) и ФР такие...